Ist ein Wellenpaket als Fourier-Reihe physikalisch realisierbar?

Ein anderer Blickwinkel darauf, den ich nicht glaube, steht im Widerspruch zu Terry Bollingers Antwort : Ob Sie eine Wellenfunktion in Positionskoordinaten oder als Fourier-Transformation, dh in Impulskoordinaten, ausdrücken, die beiden Modelle sind genau das Dasselbe. Also sind weder der Ausdruck einer Ortskoordinaten-Wellenfunktion (wie man sie aus der Lösung der Chemiker-Gewohnheitsform der Schrödinger- oder Dirac-Gleichung für das Wasserstoffatom findet) noch ihre Fourier-Transformation weniger "real" oder "physikalisch" als das andere.

Technisch gesehen nehmen wir in der Quantenmechanik am häufigsten den Raum der Funktionen als den trennbaren ( dh mit zählbarer Basis) Hilbert-Raum$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$quadratischer Lebesgue-integrierbarer Funktionen (naja fast: siehe Fußnote). Solche Funktionen sind eine eigentliche Teilmenge der sogenannten temperierten Verteilungen, die mathematische Objekte sind (erweiterte Begriffe, die Funktionen verallgemeinern), für die:

Die Verteilung selbst und ihre Fourier-Transformation bilden genau dieselbe Information

Das eine kann durch eine Eins-zu-eins-Transformation ( dh die Fourier-Transformation) in das andere umkehrbar transformiert werden, was ebenfalls unitär ist, wenn wir uns darauf beschränken$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$. Wenn Sie weitere Informationen zu temperierten Verteilungen benötigen, gebe ich hier in meiner Antwort auf die Frage "Welche Einschränkungen hinsichtlich der zeitlichen Randbedingungen gibt es für die Verwendung der Fourier-Transformation zur Lösung der Wellengleichung?" sowie hier als Antwort auf die Frage "Sind alle Streuzustände nicht normalisierbar?" und hier .

Worum es in Terrys Antwort geht, ist, dass ebene Wellen und Deltafunktionen, die "Eigenfunktionen" der Impuls- bzw. Positionsobservablen, nicht zum Quantenzustandsraum gehören$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$von physikalischen Wellenfunktionen: sie sind nicht Lebesgue-integrierbar. Diese Observablen haben also eigentlich keine Eigenfunktionen in diesem Quantenraum. Es hilft unserer Intuition, den Hilbert-Raum auf das fortgeschrittenere Konzept eines manipulierten Hilbert-Raums zu erweitern, so dass wir über diese rigoros als Vektoren des erweiterten Begriffs der Observablen im fortgeschrittenen Rahmen sprechen können. Aber physikalische Wellenfunktionen haben eine endliche Ausdehnung und haben daher in ihren Fourier-Transformationen immer eine Streuung ungleich Null.

Fußnote : Genauer gesagt: Wir nehmen unseren Quantenzustandsraum als den Hilbert-Raum der Äquivalenzklassen der Lebsesgue-integrierbaren Funktion modulo der Beziehungsgleichheit fast überall (siehe Wiki-Seite "Almost Everywhere") . Wir reden also über$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)\,/\,\sim$, Wo$\sim$ist fast überall Gleichberechtigung. Eine andere Art, dasselbe auszudrücken, wir können es als die Spannweite eines komplexen zählbaren Satzes von Basisfunktionen nehmen, wie z. B. Eigenfunktionen von harmonischen Quantenoszillatoren

Eine reine ebene Welle ist für ein reales Teilchen kein physikalisch realisierbarer Zustand, da sich die Wellenfunktion des Teilchens über den unendlichen Raum erstrecken müsste. Selbst wenn das Universum offen und unendlich groß ist, existiert es erst seit einer endlichen Zeit, sodass keine Teilchenwellenfunktion genug Zeit gehabt hätte, um ins Unendliche zu wachsen.