Ist eine Differenzgleichung kausal, antikausal oder nicht kausal?

Dies ist eine Wurzelortanalyse mit Variable K.

Die Pole sind:

$$p_{1,2}=\frac{1}{2}(1 \pm (1 - 4c)^{1/2}), |p_2|<|p_1|$$

Für$c<=1/4$, die Pole sind echt.$p_{1}=1$Wenn$c = 0$.

Für$c>1/4$, die Pole sind komplex, und ihre Größe ist:

$$|p_{1,2}|=\sqrt{\frac{1}{4}(1 + (4c-1))}=\sqrt{c}$$ was gleich 1 ist, wenn $c=1$.

Daher z$c$,$p_1$Und$p_2$:

• $c=0: p_1=1$(kritisch),$p_2=0$(stabil)

• $c=1: p_{1,2}=1/2 \pm i\sqrt(3)/2$(unterdämpft stabil,$<1$)

• $c=1/4: p_1=1/2, p_2=1/2$(überdämpft stabil,$<1$)

Da das Zeitverhalten gegeben ist, mit negativen Verzögerungen, ist das System zufällig, unabhängig von$c$.

Wenn nur$H(z)$gegeben waren und keine Zeitantwort, erhalten wir die explizite Division, um jeden konvergierenden Term mit unendlichen Summen zu untersuchen:

$$H(Z) = \frac{1}{p_1-p_2}(\frac{p_1}{1 - p_1 z^{-1}}-\frac{p_2}{1 - p_2 z^{-1}})$$

Somit:

Für ein kausales System (keine divergierenden Komponenten auf der Summe, für irgendwelche$c$):

$$|p_1 z^{-1}|<1 and |p_2 z^{-1}|<1 \rightarrow max(|p_1|,|p_2|)<|z|$$

Wenn$c<=1/4$:$\frac{1}{2}(1 + (1 - 4c)^{1/2})<|z|$

Wenn$c>1/4$:$\sqrt{c}<|z|$

Für ein Antikausales System (beide Komponenten divergieren):

$$|p_1 z^{-1}|>1 and |p_2 z^{-1}|>1 \rightarrow min(|p_1|,|p_2|)>|z|$$

Wenn$c<=1/4$:$\frac{1}{2}(1 - (1 - 4c)^{1/2})>|z|$

Wenn$c>1/4$:$\sqrt{c}>|z|$

Für ein nichtkausales System (eine Komponente divergiert und die andere konvergiert):

$$|p_1 z^{-1}|>1 and |p_2 z^{-1}|<1 \rightarrow |p_2|<|z|<|p_1|$$

Wenn$c<=1/4$:$\frac{1}{2}(1 - (1 - 4c)^{1/2})<|z|<\frac{1}{2}(1 + (1 - 4c)^{1/2})$

Wenn$c>1/4$:$\sqrt{c}=|z|$

in MATLAB, machen:

h = tf([1],[1 -1 0],1); rlocus(h); axis equal;

Sie erhalten den 'Variablenort', obwohl die korrekte Interpretation der c-Werte hier künstlich ist.

QEPD