Ist eine Formel mit unendlicher Länge in ZFC erlaubt?

Ich bin gespannt, ob Formeln mit unendlicher Länge in ZFC erlaubt sind. Wenn dies nicht der Fall ist, wie drückt es dann den Fall aus, dass unendlich viele Terme (in der gewöhnlichen Mathematik) behandelt werden? (Wie zum Beispiel zu beweisen, dass der Grenzwert der Summe von Zahlen in einer Folge eine bestimmte Zahl ist und so weiter) (Nun, man kann sagen, dass dies für den Grenzwert durch die Angabe einer Formel für die Folge getan werden kann, aber es gibt Fälle, in denen dies möglicherweise nicht der Fall ist der Fall.)

Eine andere Betrachtungsweise dieses Problems: Kann eine Funktion oder ein Prädikat mit unendlich vielen Variablen (sowohl freien als auch gebundenen) definiert werden?

Bei einer gegebenen Menge von Folgen mit unendlicher Kardinalität (die Anzahl der Folgen in der Menge ist also unendlich), nimmt eine Funktion die n-te Zahl aus jeder Folge heraus, um eine Menge zu bilden (diese Funktion würde also eine Menge nehmen und auf die Menge abbilden). - Wäre dies eine gültige Funktion in zfc?

Formeln erster Ordnung sind definitionsgemäß von endlicher Länge. Wir können jedoch mit unendlichen Objekten umgehen, indem wir sie als geeignete Mengen kodieren. Eine Sequenz ist beispielsweise nur eine Funktion mit Definitionsbereich N . Und Funktionen sind Mengen. Es gibt also keine Schwierigkeiten, sie zu handhaben Z F C .
But there are cases where this might not be the case.Beispiel?
Betrachten Sie die Definition der natürlichen Zahlen: Nach dem Axiom der Unendlichkeit existiert mindestens eine Menge X mit ∅ ∈ X und für jeden S ∈ X , S ∪ { S } ∈ X . Dann N ist der Durchschnitt aller solcher Mengen.
Bei einer gegebenen Menge von Folgen mit unendlicher Kardinalität (die Anzahl der Folgen in der Menge ist also unendlich), nimmt eine Funktion die n-te Zahl aus jeder Folge heraus, um eine Menge zu bilden (diese Funktion würde also eine Menge nehmen und auf die Menge abbilden). - Wäre dies eine gültige Funktion in zfc?

Antworten (2)

Ich gehe davon aus, dass Sie "Formel" im logischen Sinne des Wortes meinen. Formeln leben nicht „innen“. Z F C “, sondern in der Logik außerhalb, die Logik erster Ordnung ist und daher keine unendlichen Formeln zulässt.

Allerdings intern zu Z F C wir können Logik erster Ordnung definieren, und wir können stärkere Logiken definieren, wie zum Beispiel unendliche Logiken L κ , λ die Konjunktion und Disjunktion von ermöglichen < κ Formeln und < λ Quantifizierer.

Aber wir brauchen das nicht wirklich für einfache Dinge, die Sie vielleicht im Sinn hatten, wir können über Funktionen sprechen, deren Definitionsbereich eine Funktion aus einer unendlichen Menge in den Definitionsbereich ist. Zum Beispiel ein ω -tuple ist nur eine Funktion von ω hinein X . Also eine Funktionsübernahme ω Variablen ist wirklich eine Funktion, die eine Funktion von als Eingabe nimmt ω hinein X .

Dies kann auf verschiedene Weise erweitert werden, aber wie bei allem anderen in der Mathematik, sobald Sie unendliche Objekte in Ihr System zulassen, fügen Sie Schwierigkeiten hinzu und einige Fälle erfordern aufmerksamere und sorgfältigere Überlegungen.

Meinen Sie, dass wir FOL verwenden können, um ZFC erster Ordnung zu definieren und dann in FOZFC Logik höherer Ordnung zu definieren? Das fühlt sich an, als würde man sich an den eigenen Bootstraps hochziehen.
@Trismegistos: Das fühlt sich so an. Aber es gibt einen Unterschied, dass die interne Interpretation von FOL nicht genauso notwendig ist wie die "äußere" FOL. Und das ist der Haken, der verhindert, dass es so kreisförmig ist.

In ZFC werden Sequenzen durch Funktionen dargestellt N . Und Funktionen wiederum werden durch Sätze von Paaren dargestellt, die ein Element der Domäne auf ein Element der Codomäne abbilden. Somit entspricht eine Sequenz in ZFC einem Set { ( 0 , A 0 ) , ( 1 , A 1 ) , … } , wo Paare ( A , B ) stehen für den Satz { A , { A , B } } . Eine Menge kann somit eine ganze Folge darstellen, sodass unendliche Formeln nicht erforderlich sind, um über unendliche Mengen zu sprechen.

Die ZFC-Axiome werden üblicherweise in der Prädikatenlogik erster Ordnung formalisiert, die keine unendlichen Formeln zulässt. Im Prinzip könnten Sie die Axiome von ZFC nehmen und eine Art unendliche Logik verwenden. Aber für diese Logiken versagen die Kompaktheits- und Vollständigkeitstheoreme, also müssten Sie sehr vorsichtig vorgehen. Diese Theoreme garantieren, dass Sätze genau dann semantisch wahr sind (dh in allen Modellen wahr sind), wenn sie beweisbar sind, und dass Theorien genau dann semantisch konsistent sind (dh ein Modell haben), wenn sie keinen Widerspruch beweisen. Das sind keine Eigenschaften, die man leichtfertig aufgeben würde.

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