Iterative Projektion in den Grundzustand

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Iterative Projektion in den Grundzustand

Physik
Simulationen
Grundzustand
Quantenmechanik
Computerphysik

rotfünf

In diesem Artikel heißt es, dass man „die Grundzustandswellenfunktion durch Anwendung des Projektionsoperators bestimmen kann $\exp(-\tau H)$ in einen beliebigen Anfangszustand $|\Psi\rangle$ ," und das in der Grenze von $\tau \to \infty$ , wir haben das $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ gegen den wahren Grundzustand des Systems konvergiert. Dann heißt es weiter, dass diese Projektion nicht in einem einzigen Schritt durchgeführt werden kann, da Terme im Hamilton-Operator sind $H$ pendeln nicht miteinander. Meine Frage ist zweigeteilt:

Woher wissen wir das $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ im Grenzfall gegen den wahren Grundzustand des Systems konvergiert $\tau \to \infty$ ? Ich kann mich an keinen meiner QM-Kurse erinnern, aber vielleicht übersehe ich hier etwas sehr Selbstverständliches.
Warum bedeutet ein Hamiltonoperator mit nicht-kommutierenden Termen, dass wir diese Projektion nicht in einem einzigen Schritt durchführen können? Ich verstehe, dass nicht pendelnde Begriffe Schwierigkeiten bereiten, wenn wir aufteilen wollen $\tau$ in viele kleine Stücke zerlegen und zum Ganzen "aufbauen". $\tau$ durch iteratives Anwenden des Projektionsoperators. Die Art und Weise, wie dieser Satz in der Zeitung geschrieben ist, lässt mich jedoch glauben, dass es einen a priori Grund dafür gibt $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ gibt nach einmaligem Auftragen nicht den wahren Grundzustand wieder $H$ enthält nicht-kommutierende Terme.

Danke für die Hilfe!

Antworten (4)

Iterative Projektion in den Grundzustand

nervexxx · Answer 1

Meng Cheng hat die Frage bereits ziemlich genau beantwortet, aber es könnte dennoch hilfreich sein, die Bedeutung von "zu schwer zu berechnen" zu erläutern $e^{-\tau H}$ für endlich $\tau$ ".

Worauf sich Härte bezieht, ist die Rechenkomplexität des Problems/vorgeschlagenen numerischen Algorithmus. Das heißt, angesichts eines Größenproblems $N$ (z. B. hier in der zitierten Arbeit $N$ ist die Anzahl der zu simulierenden Drehungen), wie viel Speicherplatz und wie viel Zeit benötigen Sie.

Das ist wichtig, weil wir normalerweise Probleme lösen wollen, in denen $N$ ist groß: offensichtlich das Rechnen $e^{-\tau H}$ zum Beispiel ein 1024x1024 Hamiltonian $H$ 10 Spins zu beschreiben ist kein Problem -- geben Sie einfach exp(H) in MATLAB oder Mathematica ein. Aber bitten Sie MATLAB zu potenzieren $H$ für 100 Drehungen und Ihr Computer stürzt ab.

Da die Potenzierung eines Hamilton-Operators typischerweise zu einer dichten Matrix führt, hat dies eine schlechte Gedächtnisskalierung: exponentiell ein $N$ . Zur zeitlichen Skalierung siehe: https://mathoverflow.net/questions/239073/what-is-the-time-complexity-of-the-matrix-exponential

Daher naiv versuchen zu berechnen $e^{-\tau H}$ ist Torheit.

Die wichtigsten Erkenntnisse, die das Papier verwendet, sind:

Exponential über endliche Zeit kann als Produkt vieler Exponentiale über kleine Zeiten geschrieben werden $e^{-\tau H} = e^{-d \tau H}e^{-d \tau H}\cdots e^{-d \tau H}$ (Dies ist keine Annäherung).
Für kleine Zeitexponenten $e^{-d \tau H}$ , es kann angenähert werden (Trotter-Zerlegung) wie in Gl. 4 des Papiers: $e^{-d\tau H} = e^{-d\tau H_z} e^{-d\tau H_y} e^{-d\tau H_x} + O(d\tau^2)$
Naiv könnte man meinen, $H_z, H_y, H_x$ sind immer noch große Matrizen, daher ist es immer noch schwierig, sie zu potenzieren, wie im allgemeinen Fall. Aber was ist schön an jedem $H_z, H_y, H_x$ besteht darin, dass sie jeweils aus Summen lokaler Terme bestehen, die pendeln. Also die volle Matrix $e^{-d\tau H_z}$ ist selbst einfach aus Produkten lokaler Potenzierungen gemacht $e^{-d\tau H_{z,local}}$ Wo $H_{z,local}$ wirkt nur auf 4 Sites (unter der Annahme eines Next-Neighbour-Modells) und ist daher einfach zu bewerkstelligen.

Beachten Sie außerdem, dass wir beabsichtigen, uns zu bewerben $e^{-\tau H}$ zu einer Wellenfunktion. Wir müssen also eigentlich nicht das Vollbild bilden $e^{-d \tau H_z}$ etc. was gigantisch wäre. Stattdessen bewerben wir uns einfach $e^{-d\tau H_{z,local}}$ zu jedem lokalen Teil der Wellenfunktion. Das ist sehr schnell und speichereffizient!

Thomas Fritsch · Answer 2

Woher wissen wir das $\exp(−\tau H)|Ψ\rangle$ im Grenzfall gegen den wahren Grundzustand des Systems konvergiert $\tau \to \infty$ ?

Sie können den Hamiltonoperator in seiner diagonalisierten Form schreiben

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{N = 0}^{\infty} E_{N} | E_{N} ⟩ ⟨ E_{N} | \end{matrix}

$H=\sum_{n=0}^\infty E_n|E_n\rangle\langle E_n| \tag{1}$ bei dem die

E_{n}

$E_n$ sind die Eigenwerte und

| E_{n} ⟩

$|E_n\rangle$ die Eigenvektoren von

H

$H$ . Besonders,

E_{0}

$E_0$ ist der niedrigste Eigenwert, und

| E_{0} ⟩

$|E_0\rangle$ ist der Grundzustand.

Daraus können Sie bekommen

\begin{matrix} (2) & e^{- τ H} = \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ E_{N}} | E_{N} ⟩ ⟨ E_{N} | \end{matrix}

$e^{-\tau H}=\sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \tag{2}$

Sie können jeden Vektor zerlegen $|\Psi\rangle$ als Linearkombination der Eigenvektoren $|E_n\rangle$

\begin{matrix} (3) & | Ψ ⟩ = \sum_{M = 0}^{\infty} C_{M} | E_{M} ⟩ \end{matrix}

$|\Psi\rangle=\sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \tag{3}$

Wenden Sie nun den Operator (2) auf den Vektor (3) an:

\begin{aligned} e^{- τ H} | Ψ ⟩ = & \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ E_{N}} | E_{N} ⟩ ⟨ E_{N} | \sum_{M = 0}^{\infty} C_{M} | E_{M} ⟩ \\ = & \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ E_{N}} | E_{N} ⟩ \sum_{M = 0}^{\infty} C_{M} ⟨ E_{N} | E_{M} ⟩ \\ = & \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ E_{N}} | E_{N} ⟩ \sum_{M = 0}^{\infty} C_{M} δ_{N M} \\ = & \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ E_{N}} C_{N} | E_{N} ⟩ \\ = & e^{- τ E_{0}} \sum_{N = 0}^{\infty} e^{- τ (E_{N} - E_{0})} C_{N} | E_{N} ⟩ \\ = & e^{- τ E_{0}} (C_{0} | E_{0} ⟩ + \sum_{N = 1}^{\infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{- τ (E_{N} - E_{0})}}} C_{N} | E_{N} ⟩) \\ \to & e^{- τ E_{0}} C_{0} | E_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} e^{-\tau H}|\Psi\rangle =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\langle E_n|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\delta_{nm} \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau (E_n-E_0)} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \left(c_0|E_0\rangle + \sum_{n=1}^\infty \underbrace{e^{-\tau (E_n-E_0)}}_{\to 0} c_n |E_n\rangle\right) \\ \to&\ e^{-\tau E_0} c_0|E_0\rangle \end{align}$

So für $\tau \to \infty$ Sie haben endlich einen Vektor proportional zum Grundzustand $|E_0\rangle$ .

Warum bedeutet ein Hamiltonoperator mit nicht-kommutierenden Termen, dass wir diese Projektion nicht in einem einzigen Schritt durchführen können?

Ich verstehe auch nicht, von welchen nicht-kommutierenden Begriffen die Autoren in dieser Aussage sprechen. Sicherlich $H$ pendelt mit $H$ , das ist also nicht das, was sie meinen.

Nun, die Grenze, die Sie behaupten, existiert im Allgemeinen nicht (Sie müssen alles normalisieren, um die Existenz der Grenze zu beweisen). Wenn es existiert, konvergiert es möglicherweise nicht zum Grundzustand. Es genügt, den Anfangsvektor mit zu wählen $c_0=0$ .
@ValterMoretti Man sollte im Allgemeinen einen zufälligen Anfangsvektor verwenden, der mit ziemlicher Sicherheit einen Wert ungleich Null enthält $c_0$ . Trotzdem scheint diese imaginäre Zeitmethode nicht besser zu sein als Arnoldi, die ebenfalls nur Multiplikationen des Hamilton-Operators mit einem beliebigen gegebenen Vektor erfordert, um zu funktionieren, und funktioniert besser als die imaginäre Zeitausbreitung in Gegenwart von nahe beieinander liegenden Energieniveaus der Grundzustand.

Meng Cheng · Answer 3

Ich denke, die Autoren haben zu Ihrer Frage 2 nichts Tieferes oder Tieferes gesagt als "es ist zu schwer zu berechnen $e^{-\tau H}$ direkt für endlich $\tau$ " wegen der Nichtkommutativität zwischen verschiedenen Begriffen in $H$ . Deshalb teilen sie es in viele kleine Stücke und für kleine $\tau$ man kann die Näherung in Gleichung (4) der Arbeit anwenden.

Valter Moretti · Answer 4

Da ich keinen Zugriff auf das Papier habe, kann ich zu 2 nicht viel sagen. Zu 1 ist die Aussage in ihrer jetzigen Form trivialerweise falsch, auch wenn sie, sagen wir grob gesagt, zutrifft.

Was mathematisch wahr ist, ist dies für jeden nicht verschwindenden Vektor $\psi$ ,

lim_{T \to + \infty} \frac{e^{- T H} ψ}{| | e^{- T H} ψ | |} = ψ_{0}

$\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{-tH} \psi}{||e^{-tH}\psi||} = \psi_0$ Wo

ψ_{0}

$\psi_0$ ist ein normalisierter Eigenvektor von

H

$H$ mit Eigenwert gegeben durch

Mindest σ (H) \cap σ_{ψ} (H),

$\min \sigma(H) \cap \sigma_\psi(H)\:,$ Wo

σ (H)

$\sigma(H)$ ist das Spektrum von

H

$H$ Und

σ_{ψ} (H)

$\sigma_\psi(H)$ ist der minimale Satz von Eigenwerten, deren Eigenvektoren sich überspannen

ψ

$\psi$ . (Ich gehe davon aus, dass ich mich mit hermiteschen Matrizen befasse und

H

$H$ ist eine solche Matrix, also ist alles endlichdimensional.)

Insbesondere ist es leicht zu erkennen $\psi$ so dass die obige Grenze nicht gegen den Grundzustand von konvergiert $H$ (unter der Annahme, dass der Eigenraum minimaler Energie eindimensional ist).

Wenn bis zu Phasen $\phi$ einen solchen Grundzustand darstellt, ist es ausreichend zu wählen $\psi \perp \phi$ .

Der Beweis meiner Behauptungen ist eine einfache Neuanpassung der Antwort von Thomas Fritsch.

Iterative Projektion in den Grundzustand

rotfünf

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nervexxx

Thomas Fritsch

Valter Moretti

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Meng Cheng

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