Kettenregel-Extravaganz - wie leitet man das ab?

Ich habe einen sehr einfachen Algorithmus und muss die Ableitung einer Fehlerfunktion berechnen, und mit der Kettenregel wird es etwas chaotisch.

Ich habe eine Frage, ob ich das richtig mache. Um genauer zu sein, meine Frage ist, warum das richtig ist. Ich nehme dies aus einer Oxford-Vorlesung, also gehe ich davon aus, dass es nicht falsch ist, aber ich würde es anders ableiten.

Die Gleichungen:

Wir haben eine Zustandsgleichung:

$$s_t = \theta_s\phi(s_{t-1})+\theta_x x_t$$

Wo$\theta_s$ist das damit verbundene Gewicht$s$die Staaten,$\theta_x$ist das damit verbundene Gewicht$x$unser Beitrag und$\phi$ist eine differenzierbare Funktion.

Wir haben auch eine Gleichung für die Leistung der Maschine

$$y_t = \theta_y\phi(s_t)$$

Außerdem haben wir Fehlerfunktionen für jeden Zeitschritt:

$E_t = \frac{1}{2}(y_t-x_t)^2$und eine Gesamtfehlerfunktion:$E = \sum_{t=1}^{n}E_t$

Es ist also ziemlich einfach. Wir haben Inputs und wir wollen, dass unsere Outputs ähnlich sind. Unsere Ausgaben sind von Zuständen abhängig, und die Zustände sind eine Funktion des vorherigen Zustands und der aktuellen Eingabe.

Die Ableitung:

Ich möchte finden

$$\frac{\partial}{\partial \theta_s}E = \sum_{t=1}^{n}\frac{\partial}{\partial \theta_s}E_t$$

Aus Kettenregel (nach Vorlesung),

$$\frac{\partial}{\partial \theta_s}E_t = \frac{\partial E_t}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial s_t}\sum_{k=1}^{t}\frac{\partial s_t}{\partial s_k}\frac{\partial s_k}{\partial \theta_s}$$

Meine Frage ist, warum das stimmt

Warum nicht

$$\frac{\partial}{\partial \theta_s}E_t = \frac{\partial E_t}{\partial y_t} \frac{\partial y_t}{\partial s_t} \frac{\partial s_1}{\partial \theta_s} \prod_{k=2}^{t}\frac{\partial s_k}{\partial s_{k-1}}$$

Es scheint, als gäbe es viele andere Möglichkeiten, diese Ableitung mit der Kettenregel darzustellen. sind sie alle gleich? Warum ist die vom Professor gewählte Form richtig? und nicht was ich vorgeschlagen habe?