Kinetische Energie und Impulserhaltung bei einer Explosion?

Die Formel für Momentum ist es nicht$p=mv$aber es ist$\vec p=m\vec v$. Allerdings haben nach einer Explosion die Geschwindigkeiten der Bruchstücke zugenommen und damit auch die kinetische Energie des gesamten Systems (chemische Energie$\rightarrow$kinetische Energie in der Explosion), aber der Nettoimpuls ändert sich nicht. Wenn das System vor der Explosion einen Nettoimpuls von Null hatte, wird es nach der Explosion denselben (Null-)Impuls haben.

Betrachten Sie ein System von$N$Fragmente von Massen$m_1,m_2,m_3....m_N$die nach der Explosion mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten freigesetzt werden$v_1,v_2,v_3,....v_N$in andere Richtung. Was die Erhaltung des Impulses sagt, ist: -

$$\vec P_{net}\text{before explosion} =\vec P_{net} \text{after explosion}$$ $$0=\vec P_{net} \text{after explosion}=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2+....m_N\vec v_N=\Sigma_{i=1}^{N} m_i\vec v_i$$ $$\sum_{i=1}^{N}m_i \vec v_i=0$$ Das impliziert, dass die massengewichtete Vektorsumme aller Fragmentgeschwindigkeiten null sein muss, damit der Nettoimpuls des Systems null ist, sie können individuelle Größen ungleich null und daher individuelle Impulse ungleich null haben.

Wenn der Anfangsimpuls aber nicht null ist$\vec {p_f}$Dann

$$\vec {p_f}=\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i$$

Dies ist möglicherweise einfacher zu verstehen, wenn Sie an einen einfacheren Fall denken, in dem der "Kracher" nur aus zwei Massen besteht. Nehmen wir an, die beiden Massen wiegen jeweils 40 g, und wenn das Gerät explodiert, schickt es jede Masse mit 130 m/s in die entgegengesetzte Richtung.

Vor der Explosion bewegt sich die kombinierte Masse von 80 g mit 1 m/s nach rechts. Sein Impuls beträgt daher 80 g / s nach rechts. Seine kinetische Energie beträgt ½ * 80g * (1m/s) ² = 40 mJ.

Nach der Explosion bewegen sich 40 g mit 131 m/s nach rechts und die anderen 40 g mit 129 m/s nach links. Der Gesamtimpuls beträgt (-129 m/s * 40 g)+(+131 m/s * 40 g), was immer noch die gleichen 80 g/s wie zuvor sind. Allerdings ist die kinetische Energie nun ganz anders:

½ * 40 g * (129 m/s) ² + ½ * 40 g * (131 m/s) ² = 676 J

Und da K größer geworden ist, ist v größer geworden und somit muss p=mv größer werden?

Für ein einzelnes Teilchen ja . Für ein System von Teilchen, nein .

Stellen Sie sich zwei identische Teilchen vor, die sich am selben Ort befinden und zunächst in Ruhe sind. Bei anfänglicher Ruhe ist die gesamte kinetische Energie null und der Gesamtimpuls null.

Nun, aufgrund eines Mechanismus werden die Teilchen mit der gleichen Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen geschickt, so dass die Impulse gleich und entgegengesetzt sind , sodass der Gesamtimpuls Null ist, obwohl die einzelnen Impulse es nicht sind .

$$p = mv + m (-v) = m(v-v) = 0$$

Die kinetische Energie jedes Teilchens ist jedoch gleich , da KE von der Geschwindigkeit und nicht von der Geschwindigkeit abhängt. Somit ist die Gesamt-KE doppelt so groß wie die individuelle KE.

$$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$$