Klammernotation auf Tensor-Indizes

Die (Anti-)Symmetrisierung wirkt einfach auf alle eingeschlossenen Indizes (auf gleicher "Höhe", die wirklich zwischen den Klammern eingeschlossen sind), unabhängig davon, ob sie zu demselben Tensor oder zu verschiedenen Tensoren gehören. Zum Beispiel,

$$\delta^{[\alpha}{}_{[\gamma} R^{\beta]}{}_{\delta]} = \frac 12 \left(\delta^{[\alpha}{}_{\gamma} R^{\beta]}{}_{\delta} - \delta^{[\alpha}{}_{\delta} R^{\beta]}{}_{\gamma} \right) = \dots$$ und jeder Term auf der rechten Seite kann noch erweitert werden, da es sich um eine Antisymmetrisierung von handelt $\alpha\beta$Indizes: $$\dots = \frac 14 \left( \delta^{\alpha}{}_{\gamma} R^{\beta}{}_{\delta} - \delta^{\alpha}{}_{\delta} R^{\beta}{}_{\gamma} - \delta^{\beta}{}_{\gamma} R^{\alpha}{}_{\delta} + \delta^{\beta}{}_{\delta} R^{\alpha}{}_{\gamma} \right)$$ Ebenso für alle Ihre anderen Begriffe (die $\delta-\delta$Begriff wird in der anderen Antwort berechnet, die ich befürworte) oder andere Tensoren. Die Anzahl der Terme in diesen Erweiterungen steigt "exponentiell" an, wenn es viele (Anti-)Symmetrisierungen gibt, so dass es wirklich mühsam wird, alle Terme zu schreiben – diese Ermüdung ist schließlich der Grund, warum man die (Anti-)Symmetrisierungssymbole verwendet.

Solange die verschiedenen Gruppen von Indizes, die (anti)symmetrisiert sind, disjunkt sind (und Gruppen von oberen Indizes niemals einen Schnittpunkt mit einer Gruppe von niedrigeren Indizes haben), spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie die (Anti-)Symmetrisierung erweitern. Sie erhalten garantiert das gleiche Ergebnis.

Sie sollten das nicht berücksichtigen$\gamma$in Ihrem Beispiel Teil der oberen Klammer sein. Sie antisymmetrisieren das Paar nur$\alpha$Und$\beta$und das Paar$\gamma$Und$\delta$. Die Regel wäre$V{^{[\alpha}}_{[\gamma }{^{\beta ]}}_{\delta ]} = \frac{1}{2}(V{^{\alpha}}_{[\gamma }{^{\beta }}_{\delta ]} - V{^{\beta}}_{[\gamma }{^{\alpha }}_{\delta ]}) = \frac{1}{2}(V{^{[\alpha}}_{\gamma }{^{\beta ]}}_{\delta } - V{^{[\alpha}}_{\delta }{^{\beta ]}}_{\gamma }) = \frac{1}{4}(V{^{\alpha}}_{\gamma }{^{\beta }}_{\delta } -V{^{\alpha}}_{\delta }{^{\beta }}_{\gamma } - V{^{\beta}}_{\gamma }{^{\alpha }}_{\delta } + V{^{\beta}}_{\delta }{^{\alpha }}_{\gamma })$.

Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der Sie die beiden Antisymmetrisierungen durchführen, keine Rolle spielt.

Als Beispiel,$\delta{^{[\alpha}}_{[\gamma }\delta{^{\beta ]}}_{\delta ]} = \frac{1}{4}(\delta{^{\alpha}}_{\gamma }\delta{^{\beta }}_{\delta } -\delta{^{\alpha}}_{\delta }\delta{^{\beta }}_{\gamma } - \delta{^{\beta}}_{\gamma }\delta{^{\alpha }}_{\delta } + \delta{^{\beta}}_{\delta }\delta{^{\alpha }}_{\gamma })$.

Der mit dem$\delta$und das$R$gibt die gleiche Antwort mit Ausnahme der zweiten$\delta$wird ein$R$.