Die Bevölkerungsdynamik wird oft mit ODE modelliert. Ein gängiges Modell ist beispielsweise das logistische Wachstumsmodell:
wobei x die Bevölkerungsgröße ist, k die Wachstumskonstante ist, C die Tragfähigkeit ist.
Aber die Bevölkerung ist eine diskrete Variable. Es ist nicht kontinuierlich. Es werden immer ganze Zahlen verwendet. Sie können eine Population von 3000 Fischen haben, aber nicht 3001,2 Fische.
Wie kann man dann die Bevölkerung als abhängige Variable in einer Differentialgleichung verwenden?
Die Integration der oben angegebenen ODE ergibt eine Funktion zur Berechnung der Populationsgröße x(t) zum Zeitpunkt t , wenn die Populationsgröße bei t = 0 x 0 war . Wir können für x 0 eine ganze Zahl angeben . Hier kann x(t) eine reelle Zahl mit Bruch sein, aber eine Populationsgröße ist immer eine ganze Zahl.
Wie geht man mit dieser Anomalie um?
Sie können die kontinuierliche Annäherung vornehmen, wenn die Populationsgröße groß ist. Wie von arboviral erwähnt, gibt es Algorithmen, mit denen Sie stochastische Simulationen mit diskreten Variablen durchführen können. Diese sind jedoch rechenintensiver als die Integration von ODEs. Außerdem sind analytische Lösungen für die Master-Gleichungen (zeitliche Entwicklung von Wahrscheinlichkeiten) sehr schwer zu berechnen. Daher entscheiden sich die Leute, wann immer möglich, für ODE-basierte kontinuierliche Modelle.
Diese Modelle würden die Dynamik kleiner Populationen falsch darstellen und Phänomene wie das Aussterben nicht erklären. Sie können jedoch die Dynamik großer Populationen ziemlich gut erklären. Die Wahl des Modellierungsansatzes hängt also von den Fragen ab, die Sie stellen möchten, und von der Komplexität/den Rechenkosten des Modells.
Ich würde mich kaum als Experten für dieses Thema bezeichnen, aber Sie können tatsächlich gute Näherungen basierend auf ODE-basierten Modellen finden, indem Sie auf die nächste ganze Zahl runden (vorausgesetzt, Ihre Populationen sind ausreichend groß). . Das Schlüsselwort ist "Annäherung" - es ist eigentlich keine allzu große Sache , Ihre Zahl runden zu müssen, wenn Sie feststellen, dass 3001,2 zunächst nur eine Annäherung ist. Sie sagen nicht voraus, dass es genau 3001,2 Fische geben wird, Sie sagen voraus, dass es ungefähr so viele sein werden. Tatsächlich ist die Vorhersage, dass es 3001,2 Fische geben wird, wenn es tatsächlich 3000 gibt, eine hervorragende Annäherung: Das ist ein Fehler von nur ungefähr 0.
Bei mathematischen Modellen ist es wichtig zu bedenken, dass die Antworten in der Regel weniger "cut-and-dry" sind, als Sie es vielleicht aus anderen Bereichen der Mathematik gewohnt sind. Die meisten Leute denken, dass es bei Mathematik nur darum geht, einen richtigen Weg zu finden, um zu "der" richtigen Antwort zu kommen, aber diese Mentalität gilt nicht wirklich für mathematische Modelle. Versuchen Sie, Modelle eher im Sinne von „besser vs. schlechter“ als „richtig vs. falsch“ zu betrachten.
Der andere Faktor ist natürlich, dass es schwierig (oder unmöglich) sein kann, den genauen Wert aller Variablen zu kennen. Ich habe zum Beispiel kürzlich an einem mathematischen Modell von Stadttaubenpopulationen gearbeitet. Wie diese Frage zeigt , ist es gar nicht so einfach, genaue Bestandsdaten über Tauben zu erhalten, und es ist sicherlich äußerst schwierig, die genaue Tragfähigkeit für ein bestimmtes Gebiet zu ermitteln. (Schnell – wie hoch ist Londons gesamte Tragfähigkeit für Tauben?)
Dies gilt nicht für diese spezielle Differentialgleichung, aber es gibt viele Fälle (sowohl bei Differentialgleichungen im Besonderen als auch bei der mathematischen Modellierung im Allgemeinen), in denen es entweder unpraktisch oder unmöglich ist, eine exakte numerische Lösung zu finden. (Sie können häufig verschiedene Näherungstechniken wie beispielsweise die Euler-Methode verwenden , um gute Näherungen zu erhalten; Sie können auch grafische Techniken wie Richtungsfelder verwenden , um ein Gefühl für allgemeine Trends zu bekommen). Diese Art von Situation kommt in praktischen Fällen tatsächlich häufig vor, für die wir gerne ein gutes Modell finden würden.
TL; DR Ihr Modell ist zunächst eine Annäherung, daher würde ich mir keine allzu großen Sorgen machen, dass ich runden muss.
Ja, du kannst. Beispielsweise erzeugt der Gillespie-Algorithmus (Gillespie-Doob-Algorithmus) aus einem System von Differentialgleichungen eine statistisch korrekte Trajektorie einer diskreten Population. Dies ist rechenintensiver als die Behandlung einer diskreten Populationsgröße als kontinuierlich und wird daher normalerweise nur für relativ kleine Populationen verwendet.
Remi.b
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jamesqf