Können wir ein Feld axiomatisieren, indem wir mit den binären Operationen und nur „gleichen“ Axiomen beginnen?

Nein, und allgemeiner gibt es keine Axiomatisierung von Feldern mit einer beliebigen Anzahl von Operationen und nur Gleichungsaxiomen. Wenn eine solche Axiomatisierung existierte, dann hätte jedes Produkt zweier Felder eine Feldstruktur (verwenden Sie einfach die Operationen an jeder Koordinate separat). Aber zum Beispiel gibt es keine Feldstruktur auf dem zugrunde liegenden Satz des Produkts$\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_3$.

Das ist eine großartige Frage! Die Antwort ist nein, Felder können nicht so axiomatisiert werden.

Die wichtigste Beobachtung ist, dass Gleichungen durch Produkte erhalten bleiben : wenn$A, B$sind also Strukturen, die einen Satz von Gleichungen erfüllen$A\times B$erfüllt auch diese Gleichungen. Aber das Produkt zweier Körper ist niemals ein Körper.

Im Gegensatz dazu ist es einfach zu überprüfen, ob Ringe durch Gleichungen axiomatisierbar sind (ebenso Gruppen, Monoide und viele andere interessante Klassen von Strukturen).$^*$

Klassen von Strukturen, die durch Gleichungen axiomatisiert werden können, werden (vielleicht verwirrend) Varietäten genannt , und ihre Untersuchung ist Teil der universellen Algebra . Lassen Sie mich mit der Erwähnung eines der fundamentalen Theoreme der universellen Algebra enden:

HSP-Theorem : Let$\mathcal{V}$sei eine (nicht leere) Sammlung von (nicht leeren) Algebren (d. h. Strukturen in einer Sprache, die nur Funktionssymbole enthalten), die unter Isomorphie abgeschlossen ist (d. h.$A\cong B, A\in\mathcal{V}\implies B\in\mathcal{V}$) . Dann$\mathcal{V}$ist eine Sorte genau dann, wenn$\mathcal{V}$ist unter Unterstrukturen, homomorphen Bildern und beliebigen kartesischen Produkten abgeschlossen.

Eine Richtung des Satzes ist relativ einfach: Zeigen Sie, dass Produkte, Unterstrukturen und homomorphe Bilder alle Gleichungen bewahren. Die andere Richtung ist interessanter. Grob angenommen$\mathcal{V}$ist abgeschlossen unter H, S und P (daher der Name des Theorems) und$A$ist eine Algebra, die jede Gleichung erfüllt, die für jedes Element von wahr ist$\mathcal{V}$, wollen wir zeigen$A\in\mathcal{V}$. Wir verwenden Closure unter Produkten, um eine sehr große "freie" Algebra (analog zu einer freien Gruppe) in zu konstruieren$\mathcal{V}$, und zeige das dann$A$ist das homomorphe Bild einer Unterstruktur dieser Algebra.

(Beachten Sie, dass hier ein breiteres Thema behandelt wird: Welche Arten von Sätzen erster Ordnung werden durch welche Arten von algebraischen Operationen erhalten? Einige Details dazu finden Sie in Hodges 'Modelltheorie-Büchern.)

$^*$Tatsächlich gibt es hier eine wichtige Subtilität: die Sprache zählt ! Denken Sie an Gruppen. Wenn wir ein Symbol für das Identitätselement und ein Symbol für die inverse Operation sowie ein Symbol für die Gruppenoperation haben, dann sind die üblichen Gruppenaxiome alle gleich. Wenn wir jedoch kein Symbol dafür haben, brauchen wir kompliziertere Axiome (insbesondere müssen wir sagen "es gibt ein Element, so dass ...", was nicht gleich ist).

Tatsächlich ist die Klasse der Gruppen in der Sprache, die nur die Gruppenoperation enthält, keine Varietät! Dies folgt aus der Tatsache, dass Unterstrukturen Gleichungen erhalten: jede Gleichung wahr in$\mathcal{Z}=(\mathbb{Z}; +)$stimmt auch darin$\mathcal{N}=(\mathbb{N}; +)$, also enthält jede Sorte, die Ersteres enthält, auch Letzteres. Der Punkt ist, dass eine ausdrucksstärkere Sprache Gleichungen mehr aussagen lässt.