Kollisionspenetrationsproblem

Um die Zwischenposition zwischen zwei Zeitschritten zu finden, müssen Sie eine kubische Spline-Funktion ohne Genauigkeitsverlust verwenden. Nehmen wir an, jeder Körper hat drei Freiheitsgrade$(x,y,\theta)$und Sie kennen die Werte und ihre Ableitungen zwischen zwei Zeitschritten

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \theta_1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \dot{\theta}_1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ \theta_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \dot{\theta}_2 \end{pmatrix}$$

Wenn die Zeitschrittgröße ist$h$Und$t=0$Im ersten Schritt werden dann die Zwischenwerte gefunden

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ \theta \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & \dot{x}_1 & \dot{x}_2 \\ y_1 & y_2 & \dot{y}_1 & \dot{y}_2 \\ \theta_1 & \theta_2 & \dot{\theta}_1 & \dot{\theta}_2 \\ \end{vmatrix} \begin{pmatrix} 2 \left( \tfrac{t}{h} \right)^3 - 3 \left( \tfrac{t}{h} \right)^2 + 1 \\ \left( \tfrac{t}{h} \right)^2 \left(3-2 \left( \tfrac{t}{h} \right) \right) \\ t \left( \left( \tfrac{t}{h} \right)^2 - 2 \left( \tfrac{t}{h} \right) +1 \right) \\ h \left( \tfrac{t}{h} \right)^2 \left(\tfrac{t}{h}-1\right) \end{pmatrix}$$

Für jede$(x,y,\theta)$Lösung gibt es die Koordinaten der Kontaktecke P als definiert

$$(x_p,y_p) = f(x,y,\theta,\mbox{dimensions})$$

Für eine Kiste der Größe$a$Und$b$das ist

$$\begin{pmatrix} x_p \\ y_p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x + \frac{a}{2}\cos\theta-\frac{b}{2}\sin\theta \\ y + \frac{a}{2}\sin\theta + \frac{b}{2} \cos\theta \end{pmatrix}$$

Die Einschränkung ist, ob die Form einer Linie (Ebene in 3D)$n_x x + n_y y = d$Wo$(n_x,n_y)$ist der Kontaktnormalenvektor und$d$ist die Entfernung vom Ursprung. Sie befinden sich am Kontaktpunkt (innerhalb der Toleranz$\epsilon$) Wenn

$$|n_x x_p + n_y y_p - d | \leq \epsilon$$

Sie können jetzt wählen, ob Sie eine numerische Methode (wie die Halbierung) verwenden, um das Problem zu lösen, oder ob Sie annehmen, dass der Zeitschritt klein genug ist, um es zu lösen, indem Sie annehmen, dass$t\ll 1$Und

$$\boxed{ t \approx \frac{d - n_x x_p -n_y y_p }{n_x (\dot{x}_1 +\dot{\theta}_1 (y_1 -y_p))-n_y ((x_1-x_p) \dot{\theta}_1-\dot{y}_1)} }$$

Der schnelle und einigermaßen genaue Weg (abhängig von der Größe des Zeitschritts), dies zu tun, besteht darin, die Position kurz vor der Kollision einzunehmen ($\vec{a}$) und unmittelbar nach der Kollision ($\vec{b}$), ziehen Sie eine Linie zwischen ihnen

$$\vec{L}(t) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$$ und nach wann auflösen $\vec{L}$ist im Flugzeug. Nämlich wann $$(\vec{L}(t) - \vec{p})\cdot\vec{n} = 0,$$ Wo $\vec{p}$ist ein Punkt in der Ebene und $\vec{n}$ist der Normalenvektor der Ebene (falls Sie Ebenen so definieren).

Für die physikalische Lösung werde ich nur einen Scheitelpunkt verfolgen, da es viel einfacher ist, einen einzelnen Punkt zu verfolgen als eine höherdimensionale Entität. Außerdem ist es viel wahrscheinlicher, dass ein Objekt, das sich bewegt und dreht, an einer Ecke auftrifft, da eine Kante oder Fläche eine präzise Ausrichtung und ein präzises Timing erfordern würde.

Weitere Annahmen, um mein Leben einfacher zu machen (meistens sichere Annahmen vorausgesetzt$t = 0 \rightarrow 1$ist ein Animationsframe):

• Die lineare Geschwindigkeit ist konstant.
• Die Winkelgeschwindigkeit ist konstant.
• Rotationsachse ist konstant.

Wir können die Bewegung des Scheitelpunkts als Kombination der Bewegung des Massenschwerpunkts und der Rotationsbewegung um den Massenschwerpunkt beschreiben:

$$\vec{x}(t) = \vec{x}_\textrm{CM}(t) + \vec{x}_\textrm R(t).$$ Schwerpunkt ist einfach: $$\vec{x}_\textrm{CM}(t) = \vec{x}_\textrm{CM}(0) + \vec{v}t$$ Wo $\vec{v}$ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts.

Die Positionsänderung um den Massenschwerpunkt ist eine Rotation des Vektors

$$\vec{x}' = \vec{x}(0) - \vec{x}_\textrm{CM}(0)$$ um einen Winkel $\theta = \omega{}t$um einen Achsenvektor $\vec{b}$, Wo $\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit. Der einfachste Weg, den ich gefunden habe, um Rotationen um eine beliebige Achse darzustellen, ist eine Rotationsmatrix, die einer Koordinatentransformation folgt. Die x-Achse ist der Einheitsvektor in Richtung der Komponente von $\vec{x}'$senkrecht zur Rotationsachse $\vec{b}$(nennen $\hat{x}'_b$), ist die z-Achse der Einheitsvektor der Rotationsachse ( $\hat{b}$), und die y-Achse ist das Kreuzprodukt dieser beiden. Die Umkehrung (und Transponierung) dieser Transformation ist gegeben durch $$D^{-1} = \begin{bmatrix} | & | & | \\ \hat{x}'_b & \hat{b} \times \hat{x}'_b & \hat{b} \\ | & | & | \end{bmatrix}$$ Dies macht die Drehung ein einfaches $$R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & \phantom{-}\cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Die vollständige Transformation geht vorbei

$$\begin{align}D^{-1}RD\vec{x}' &= D^{-1}R\begin{bmatrix}|\vec{x}'_b|\\0\\\hat{b}\cdot\vec{x}'\end{bmatrix} \\ &= D^{-1}\begin{bmatrix}|\vec{x}'_b|\cos(\theta)\\|\vec{x}'_b|\sin(\theta)\\\hat{b}\cdot\vec{x}'\end{bmatrix} \\ &= \vec{x}'_b\cos(\theta) + \sin(\theta)(\hat{b} \times \vec{x}'_b) +(\hat{b}\cdot\vec{x}')\hat{b} \end{align}$$

Die Gesamtbewegung ist also gegeben durch

$$\begin{align} \vec{x}(t) &= \vec{x}_{CM}(t) + \vec{x}_R(t) \\ &= \vec{x}_{CM}(0) + \vec{v}t + \vec{x}'_b\cos(\omega{}t) + \sin(\omega{}t)(\hat{b} \times \vec{x}'_b) +(\hat{b}\cdot\vec{x}')\hat{b} \end{align}$$ (Beachten Sie die Änderungen von $\hat{x}'_b$Zu $\vec{x}'_b$wegen der Multiplikation mit $|\vec{x}'_b|$). Zu bekommen $t$, nach wann auflösen $\vec{x}(t)$ist in der Ebene wie im ersten Absatz: $$\left(\vec{x}(t) - \vec{p}\right)\cdot\vec{n} = 0.$$

In dieser Form ist die Gleichung mit der unlösbar$\sin$Und$\cos$. Sie können die kleinen Winkelannäherungen machen

$$\sin x \approx x$$ Und $$\cos x \approx 1 - \frac{1}{2}x^2$$ um daraus eine lösbare quadratische Gleichung zu machen.

Wenn Sie kurz vor dem Aufprall keinen Zugriff auf die Position haben ($t=0$Position/Orientierung), können Sie verwenden

$$\left(\left(\vec{x}(1) - \vec{p}\right)\cdot\hat{n}\right)\hat{n} = \vec{d}$$ um es zu finden (beachten Sie die Verwendung des Einheitsnormalenvektors $\hat{n}$).