Kombinatorik und mengentheoretische Frage

Problem: Let$A_n=\{ 1,2,...,n \}$. Wir definieren das geordnete Triplett$(A,B,C)$so gut wenn$A \cup B \cup C = A_n$Und$\operatorname{card}(A \cap B \cap C)=2$(Der Schnittpunkt hat also genau$2$Elemente). Lassen$p_n$sei die Anzahl solcher interessanter Paare.

Gibt es eine Formel für$p_n$, und wenn ja, ist der Bruch$\frac{p_{n+1}}{p_n}$Konstante?

Frage: Ich habe einen sehr einfachen Backtrack-Algorithmus erstellt, der berechnet$p_3=18$,$p_4=216$Und$p_5=2160$. Ich sehe dafür keine offensichtliche Formel, da es sich um eine arithmetische Progression handeln kann. Es ist klar, dass die Anzahl der möglichen Kreuzungen$A \cap B \cap C$Ist$n(n-1)/2$. Es bleibt also die Frage, auf wie viele Arten wir solche Mengen so anordnen können, dass sie alle mindestens einmal alle Elemente enthalten.

Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen, welchen theoretischen Begriff ich vergessen habe, und einen Hinweis auf die Lösung geben? Jede Hilfe wäre willkommen.