Kommutatoren mit Funktionen

Ich suche den Kommutator:

[ e A Q , P ]
Mein Ansatz besteht darin, die Funktion durch Taylor zu erweitern:
[ ∑ N 1 N ! ( A Q ) N , P ]
ich weiß, dass [ Q N , P ] = N ich ℏ Q N − 1 Wie rechne ich also aus N Kommutatoren?

Können Sie erklären, was Sie mit "Buchhaltung" meinen? N Kommutatoren? Suchen Sie nach einem Beweis für die letzte Beziehung, die Sie bereits kennen?
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/78222/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (3)

Eine allgemeinere Beziehung als [ Q N , P ] = ich ℏ N Q N − 1 Ist

[ F ( A ) , B ] = [ A , B ] ∂ F ∂ A
Wenn [ A , [ A , B ] ] = 0 . In diesem Fall können wir dies verwenden, weil [ Q , P ] = ich ℏ ist nur eine Zahl, und die pendelt mit allem. Sie können diese Formel also einfach direkt anwenden.

Eine andere Sache, die vielleicht erwähnenswert ist, ist, dass Sie sie auf die einzelnen Terme einer unendlichen Summe anwenden können, da die Ableitung ein linearer Operator ist.

Wie berechne ich den allgemeineren Fall, in dem [A,B] ein anderer Operator ist? Geht es vor oder nach der Ableitung?
Wenn [ A , B ] pendelt mit A , dann ist es dasselbe und egal ob vorher oder nachher. Wenn [ A , B ] pendelt nicht mit A , wird der gesamte Ausdruck im Allgemeinen komplizierter. Angenommen, f hat eine Taylorentwicklung in Potenzen von A N . Dann [ A N , B ] = A N − 1 [ A , B ] + [ A N − 1 , B ] A . Durch Rekursion ist dies [ A , B ] N A N − 1 Wenn [ A , [ A , B ] = 0 . Wenn nicht, dann können Sie die Begriffe nicht neu anordnen [ A , B ] landet dazwischen eingeklemmt A S. Aber es kann rekursiv aus erfolgen [ A N , B ] = A N − 1 [ A , B ] + [ A N − 1 , B ] A .

Wenn Q Und P die kanonische Kommutierungsrelation erfüllen, [ Q , P ] = ich ℏ , dann können Sie die Beziehung zwischen den klassischen Poisson-Klammern und Kommutatoren verwenden:

(1) [ A , B ] klassisch → 1 ich ℏ [ A , B ]
Ich nehme an A = A ( Q , P ) Und B = B ( Q , P ) zur Zeit. Die klassischen Poisson-Klammern sind vorbei
(2) [ A , B ] klassisch = ∂ A ∂ Q ∂ B ∂ P − ∂ A ∂ P ∂ B ∂ Q
Da hast du A = A ( Q ) Und B = P , dann ergibt sich Gleichung (1) über Gleichung (2).
(3) [ A ( Q ) , P ] = ich ℏ ∂ A ( Q ) ∂ Q

Die Beziehung in (1) ist jedoch nicht immer korrekt (hängt von der "Nettheit" der Funktion ab A ( Q ) , siehe dies und das ). Wie in einer anderen Antwort von mir (unter anderem) besprochen , bräuchte man die Moyal-Klammer , die einen proportionalen Korrekturfaktor einführt ℏ 2 . Aber für das aktuelle Problem von A ( Q ) ∼ exp ⁡ ( A Q ) , (3) würde genügen.

Das stimmt nicht immer! Die Auswertung der Klammer im Sinne der klassischen Poisson-Klammer gilt allgemein nur für quadratische Funktionen. Siehe kanonische Quantisierung auf Wikipedia.
@ G. Bergeron: Richtig. Ich diskutiere dies in einer späteren Antwort auf eine ähnliche Frage; Ich habe das einfach nicht korrigiert.

Es scheint mir, dass der vom OP formulierte Ansatz vollkommen solide ist! Das OP zeigt, dass er mit dem Kommutator zwischen q^n und p vertraut ist. Um diese Formel zu verwenden, schlägt er vor, die Taylorreihenentwicklung auf die Zielfunktion anzuwenden. Das ist in Ordnung.

Das einzige Problem ist, dass der OP kalte Füße bekam und seine Berechnung an dieser Stelle abbrach. Eigentlich war das Endergebnis schon fast in Sicht. Das Einsetzen des speziellen Kommutators in die Taylor-Reihe führt zu einer Formel, die leicht neu summiert werden kann. Es ist nur eine andere Version der Taylor-Reihe einer Exponentialfunktion!

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