Kondensatorentladezeit unter einer sinusförmigen Spannungsquelle

Question

Kondensatorentladezeit unter einer sinusförmigen Spannungsquelle

Dennis h

Ich kann einfach nicht die richtige Lösung für das folgende, ziemlich grundlegende Problem finden:

Ein Kondensator $C$ wird ständig über einen Widerstand entladen $R$ . Dies lässt sich leicht durch einen exponentiellen Abfall beschreiben ( $\tau:= RC$ ):

U_{C} (T) = U_{C, 0} \exp (- T τ^{- 1})

$U_C(t)=U_{C,0}\exp(-t\tau^{-1})$

Daher eine Zeit $t_1$ berechnet werden, bei der die Spannung eine bestimmte, niedrigere Spannung erreicht $U_1$ :

T_{1} = - τ \ln (U_{1} / U_{C, 0})

$t_1 = -\tau\ln(U_1/U_{C,0})$

Stellen Sie sich nun eine sinusförmige Spannungsquelle vor, die mit zunehmender Spannung im Laufe der Zeit die Spannung des sich entladenden Kondensators erreicht und diesen somit wieder auflädt . Ich suche genau diesen Zeitpunkt $t_2$ .

Mein Ansatz : Gleichsetzen der Kondensatorentladungsformel und der gegebenen Spannungsfunktion:

\hat{U} Sünde (ω T_{2}) = U_{C, 0} \exp (- T_{2} τ^{- 1})

$\hat{U}\sin(\omega t_2) = U_{C,0}\exp(-t_2\tau^{-1})$ Die Verwendung der Euler-Formel ergibt

- ich \hat{U} \exp (ich ω T_{2}) = U_{C, 0} \exp (- T_{2} τ^{- 1}) ⟹ \exp (ich ω T_{2} + T_{2} τ^{- 1}) = ich U_{C, 0} / \hat{U} ⟹ ich ω T_{2} + T_{2} τ^{- 1} = \ln (ich U_{C, 0} / \hat{U})

$-\mathrm{i}\hat{U}\exp(\mathrm{i}\omega t_2) = U_{C,0}\exp(-t_2\tau^{-1})\\ \Longrightarrow\ \exp(\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1})=\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U}\\ \Longrightarrow\ \mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U})$ Die Verwendung des komplexen Logarithmus ergibt

ich ω T_{2} + T_{2} τ^{- 1} = \ln (U_{C, 0} / \hat{U}) + ich Arg (ich U_{C, 0} / \hat{U}) ⟺ ich ω T_{2} + T_{2} τ^{- 1} = \ln (U_{C, 0} / \hat{U}) - ich (π / 2 + 2 k π)

$\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(U_{C,0}/\hat{U})+\mathrm{i}\arg(\mathrm{i}U_{C,0}/\hat{U})\\ \Longleftrightarrow\mathrm{i}\omega t_2+t_2\tau^{-1}=\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\mathrm{i}(\pi/2+2k\pi)$ Da wir die erste Periodizität (

0

$0$ Zu

2 π

$2\pi$ )

k = 0

$k=0$ gelten sollte. Wir erweitern auch den Nenner:

T_{2} = \frac{(\ln (U_{C, 0} / \hat{U}) - ich π / 2) (τ^{- 1} - ich ω)}{ω^{2} + τ^{- 2}}

$t_2=\frac{(\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\mathrm{i}\pi/2)(\tau^{-1}-\mathrm{i}\omega)}{\omega^2+\tau^{-2}}$ Erst die Betrachtung der Realteile ergibt wieder

T_{2} = \frac{τ^{- 1} \ln (U_{C, 0} / \hat{U}) - ω π / 2}{ω^{2} + τ^{- 2}}

$t_2=\frac{\tau^{-1}\ln(U_{C,0}/\hat{U})-\omega\pi/2}{\omega^2+\tau^{-2}}$ was in meiner Simulation leider nur unrealistische Werte liefert.

Wie kann ich finden $t_2$ korrekt?

Beispiel: Wie gewünscht, wird nachfolgend ein kurzes Beispiel vorgestellt. In diesem Fall $U_e=\hat{U}\sin(\omega t)$ ist die oben verwendete Eingangsspannung. Jedoch, $R_1$ ist der Ladewiderstand und wird hier nicht berücksichtigt, da es bereits eine einfache Näherung für die Zeit gibt $t_1$ wenn der Kondensator aufhört zu laden. Daher, $R:=R_2$ wurde in meiner obigen Beschreibung verwendet.

Ich habe die Zeit markiert $t_2$ an dem ich die aktuelle Ladefunktion, die bereits für den ersten Teil implementiert ist, erneut anwenden möchte ( $t<t_1$ ) der Kondensatorspannungsfunktion. Die "fertige Simulation" würde einen Wechsel von Laden (Kap. Spannung steigt) und Entladen (Kap. Spannung fällt) beinhalten.

Zu Jans Antwort :

Ich habe die gegebene Gleichung gezeichnet, der ein erwarteter exponentieller Abfall zu fehlen scheint: Die Verwendung der folgenden Komponentenwerte führte zu folgendem Simulationsergebnis:

Obwohl die Extremwerte einigermaßen übereinstimmen, bin ich wirklich ratlos, warum Ihre Lösung nicht das gleiche Ergebnis liefert.

Tony Stewart EE75

Versuchen Sie, einen gültigen Schaltplan zu zeichnen

Andi aka

Die Schaltung, die Sie zeigen, und die Wellenform der Kondensatorspannung sind falsch. Der Kondensator lädt sich auf und ab und folgt etwas der gleichgerichteten Netzwellenform.

Dennis h

@Andyaka Ja, du beschreibst perfekt, was ich erreichen möchte. Um jedoch korrekt zwischen der Lade-/Entladefunktion umzuschalten, muss ich den Zahlenwert von t2 kennen: eine Gleichung für t2 ist erforderlich. Was Sie auf meiner Grafik sehen, ist nur der erste Lade- und Entladevorgang. ZB für t>t2 würde ein weiterer Ladevorgang folgen; wie du schon richtig beschrieben hast.

Clara Díaz Sánchez

Beabsichtigen Sie also, einen Kondensator an eine gleichgerichtete Wechselstromversorgung anzuschließen, und fragen sich, wie die verbleibende Welligkeit vom Wert des Kondensators abhängt?

Dennis h

@ClaraDiazSanchez In gewissem Sinne ja, aber ich würde eine etwas analytische Lösung stark bevorzugen, weil ich das auf die IV-Charakteristik eines MOSFET anwenden möchte. Die obige Schaltung wäre der Gate-Treiber (Gate nach R1) eines "DC"-"DC"-Converters.

Bruce Abbott

Jans Gleichung geht davon aus, dass der Gleichrichterausgang eine steife Spannungswellenform ist, die Strom liefert und senkt. In Wirklichkeit liefert der Gleichrichter nur Strom. Ihre Formel muss R1 trennen, wenn die gleichgerichtete Eingangsspannung weniger als 2 Diodenspannungsabfälle über der Kondensatorspannung liegt (dh zwischen t1 und t2).

Antworten (2)

Kondensatorentladezeit unter einer sinusförmigen Spannungsquelle

Die Schaltung, die Sie zeigen, und die Wellenform der Kondensatorspannung sind falsch. Der Kondensator lädt sich auf und ab und folgt etwas der gleichgerichteten Netzwellenform.
@Andyaka Ja, du beschreibst perfekt, was ich erreichen möchte. Um jedoch korrekt zwischen der Lade-/Entladefunktion umzuschalten, muss ich den Zahlenwert von t2 kennen: eine Gleichung für t2 ist erforderlich. Was Sie auf meiner Grafik sehen, ist nur der erste Lade- und Entladevorgang. ZB für t>t2 würde ein weiterer Ladevorgang folgen; wie du schon richtig beschrieben hast.
Beabsichtigen Sie also, einen Kondensator an eine gleichgerichtete Wechselstromversorgung anzuschließen, und fragen sich, wie die verbleibende Welligkeit vom Wert des Kondensators abhängt?
@ClaraDiazSanchez In gewissem Sinne ja, aber ich würde eine etwas analytische Lösung stark bevorzugen, weil ich das auf die IV-Charakteristik eines MOSFET anwenden möchte. Die obige Schaltung wäre der Gate-Treiber (Gate nach R1) eines "DC"-"DC"-Converters.
Jans Gleichung geht davon aus, dass der Gleichrichterausgang eine steife Spannungswellenform ist, die Strom liefert und senkt. In Wirklichkeit liefert der Gleichrichter nur Strom. Ihre Formel muss R1 trennen, wenn die gleichgerichtete Eingangsspannung weniger als 2 Diodenspannungsabfälle über der Kondensatorspannung liegt (dh zwischen t1 und t2).

Jan Eerland · Answer 1

Nun, wir haben die folgende Schaltung:

schematisch

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Die Eingangsspannung ist eine gleichgerichtete Netzspannung, die sich mathematisch wie folgt schreiben lässt:

\begin{matrix} (1) & v_{In} (T) = | {\hat{v}}_{ich} Sünde (ω T) | \end{matrix}

$\text{v}_\text{in}\left(t\right)=\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\sin\left(\omega t\right)\right|\tag1$

Mit der Laplace-Transformation können wir schreiben:

\begin{matrix} (2) & v_{In} (S) = {ICH}_{In} (S) \cdot (R_{1} + \frac{R_{2}}{1 + {sCR}_{2}}) \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\cdot\left(\text{R}_1+\frac{\text{R}_2}{1+\text{sCR}_2}\right)\tag2$

Unter Verwendung der Definition der Laplace-Transformation erhalten wir:

\begin{matrix} (3) & v_{In} (S) = L_{T} {[v_{In} (T)]}_{(S)} = \int_{0}^{\infty} v_{In} (T) \exp (- S T) D T = \frac{| {\hat{v}}_{ich} | ω \coth (\frac{π S}{2 ω})}{S^{2} + ω^{2}} \end{matrix}

$\text{V}_\text{in}\left(\text{s}\right)=\mathcal{L}_t\left[\text{v}_\text{in}\left(t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\int_0^\infty\text{v}_\text{in}\left(t\right)\exp\left(-\text{s}t\right)\space\text{d}t=\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\tag3$

Die Spannung am Kondensator ist gegeben durch:

\begin{matrix} (4) & v_{C} (S) = \frac{1}{sc} \cdot \frac{R_{2}}{R_{2} + \frac{1}{sc}} \cdot {ICH}_{In} (S) \end{matrix}

$\text{V}_\text{C}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{sC}}\cdot\frac{\text{R}_2}{\text{R}_2+\frac{1}{\text{sC}}}\cdot\text{I}_\text{in}\left(\text{s}\right)\tag4$

So:

v_{C} (S) = \frac{1}{sc} \cdot \frac{R_{2}}{R_{2} + \frac{1}{sc}} \cdot \frac{| {\hat{v}}_{ich} | ω \coth (\frac{π S}{2 ω})}{S^{2} + ω^{2}} \cdot \frac{1}{R_{1} + \frac{R_{2}}{1 + {sCR}_{2}}} =

$\text{V}_\text{C}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{sC}}\cdot\frac{\text{R}_2}{\text{R}_2+\frac{1}{\text{sC}}}\cdot\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\cdot\frac{1}{\text{R}_1+\frac{\text{R}_2}{1+\text{sCR}_2}}=$

\begin{matrix} (5) & \frac{| {\hat{v}}_{ich} | ω \coth (\frac{π S}{2 ω})}{S^{2} + ω^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot (1 + {sCR}_{2})} \end{matrix}

$\frac{\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\right|\omega\coth\left(\frac{\pi\text{s}}{2\omega}\right)}{\text{s}^2+\omega^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{\text{R}_1}{\text{R}_2}\cdot\left(1+\text{sCR}_2\right)}\tag5$

Unter Verwendung der Eigenschaften der Laplace-Transformation können wir schreiben:

\begin{matrix} (6) & v_{C} (T) = \frac{1}{{CR}_{1}} \int_{0}^{T} | {\hat{v}}_{ich} Sünde (ω (T - τ)) | \exp (- \frac{(R_{1} + R_{2}) τ}{C R_{1} R_{2}}) D τ \end{matrix}

$\text{v}_\text{C}\left(t\right)=\frac{1}{\text{CR}_1}\int_0^t\left|\hat{\text{V}}_\text{i}\sin\left(\omega\left(t-\tau\right)\right)\right|\exp\left(-\frac{\left(\text{R}_1+\text{R}_2\right)\tau}{\text{C}\text{R}_1\text{R}_2}\right)\space\text{d}\tau\tag6$

Vielen Dank für Ihre Antwort, es wird sehr geschätzt. Ich habe diese Methode noch nie zuvor verwendet, also könnte das eine Entschuldigung sein, warum ich bei Eq.5 stapele, weil ich nur bekomme $1/(sCR_1+1)(sCR_2+1)$ für den zweiten Bruchteil, was erfordern würde, dass die Faltung ein weiteres Mal angewendet wird. Trotzdem habe ich Ihre Lösung grafisch dargestellt und sie zeigt nicht den erwarteten exponentiellen Abfall während der Zeit der Obergrenze. Entladungen. Vielleicht hängt dies damit zusammen, dass vin (t) bei t = pi / omega nicht differenzierbar ist?
Ich habe einen langen Kommentar als Antwort auf den Fall eingefügt. Auch hier wird das Fehlen eines exponentiellen Zerfalls diskutiert.
@DennisH Nun, wenn Sie WolframAlpha verwenden, um den Bruch zu überprüfen (Code: TrueQ[(1/(s * c))*(b/(b+(1/(s * c))))*(1/(a+(b /(1+s * c * b))))==1/(1+(a/b)*(1+s * c * b))]) Sie werden sehen, dass meine Gleichung richtig ist.

Benutzer136077 · Answer 2

Dies ist eigentlich ein Kommentar, aber so lange Kommentare sind nicht erlaubt.

Ihre Schaltung (= R1 + C + R2) hat keinen Gleichrichter und Sie haben gezeigt, dass die Eingangsspannung sinusförmig vollwellengleichgerichtet ist. Sie haben eine Antwort erhalten, die die resultierende Kondensatorspannung als Formel zeigt, die mit Laplace-Transformationen abgeleitet wird. Das ist genau und kein Problem. Sie haben sogar die Formel geplottet und es sieht perfekt aus.

Aber anscheinend wolltest du etwas ganz anderes. Sie haben in Ihre Überlegungen - nicht in den ursprünglichen Schaltplan - einen Diodengleichrichter eingebaut, der die Funktion total verändert. Auch der Kondensator in der Originalschaltung wird von der speisenden Spannungsquelle geladen und entladen. Gleichrichter bewirkt, dass nur R2 den Kondensator entlädt Die richtige Kurve dafür haben Sie mit Simulationssoftware gefunden.

Das Problem, den resultierenden Spannungsverlauf genau zu berechnen, kann nur mit numerischer Simulation gelöst werden. Es gibt keine Formel für den Punkt, an dem der exponentielle Abfall auf die ansteigende Sinuskurve trifft. Außerdem verursachen praktische Dioden Spannungsabfälle, die in komplexer Weise vom Strom abhängen. Dies alles führt auch bei idealen Dioden zu transzendentalen Gleichungen, die nur numerisch lösbar sind, die Lösung ist nicht mit elementaren Funktionen beschreibbar. Es kann vielleicht eine unendliche Reihe dargestellt werden, aber das übersteigt meine Berechnungsmöglichkeiten.

Ihr Versuch, die transzendente Gleichung analytisch zu lösen, divergiert leider am Anfang. Sie haben den Sinus aus der Euler-Formel ganz auf Ihre Weise extrahiert. Sie haben den Kosinusteil der Formel weggelassen.

Analytische Lösungen werden in vereinfachten Fällen verwendet. Wie Sie in Ihrer Simulation sehen, sieht der Abfall von Vc linear aus, nachdem der Eingang von Dioden schneller als VC abfällt und der nächste Sinusimpuls nicht hoch genug geworden ist. Unter der Annahme eines linearen Abfalls von Vc (= konstanter Laststrom) ergibt sich eine Möglichkeit, den max. Droprate für erlaubte minimale Vc. Daraus erhält man entweder das benötigte C oder max. zulässiger Laststrom.

Wenn Sie eine analytische Lösung benötigen, können Sie wahrscheinlich eine numerische Tabelle für Ihre eigene spezielle Funktion "Tedmris" (= Zeit für den exponentiellen Abfall, um einen steigenden Sinus zu treffen) erstellen. Es ist nicht schlimmer, als eine Formel mit sin, cos, exp, sqrt usw. zu haben, die bereits als Tabellen oder schnell konvergierende Reihen in Taschenrechnern vorhanden sind. Einige mathematisch gültige Untersuchungen der Eigenschaften von Tedmris sind erforderlich, um die Anzahl der Parameter minimal halten zu können, um Formeln algebraisch vereinfachen zu können und um einen guten Weg zu finden, sie und ihre Umkehrung zu berechnen.

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