Konvertieren von Karnaugh-Maps in boolesche Ausdrücke

Question

Konvertieren von Karnaugh-Maps in boolesche Ausdrücke

Physik
Karnaugh-Karte
digitale Logik
boolsche Algebra

Linkshänder

Mein Professor hat kurz erwähnt, dass es Möglichkeiten gibt, aus einer K-Karte "0" und "1" zu nehmen, die es Ihnen ermöglichen, die logischen Ausdrücke unterschiedlich zu bilden (z. B. NAND-NAND, AND-OR, NOR-NOR usw.). Kann mir das jemand erklären oder mich auf eine Diskussion zu diesem Thema verweisen? Die einzige Methode, die ich zu finden scheint, sind Minterm- und Maxterm-Lösungen.

Hier mein aktuelles Verständnis:

Für Minterm-Lösungen bilden wir Gruppen von Einsen in Potenzen von 2. Invertieren Sie für jede Gruppierung, wenn die unveränderte Variable eine 0 ist, und tun Sie nichts, wenn sie 1 ist. Jede Variable in der Gruppe wird UND-verknüpft, und dies bildet ein Summenprodukt von Produkten mit den anderen Gruppierungen (falls vorhanden) - das Ergebnis ist eine UND-ODER-Logik.

Für Maxterm-Lösungen bilden wir Gruppen von Nullen in Potenzen von 2. Invertieren Sie für jede Gruppierung, wenn die unveränderte Variable eine 1 ist, und tun Sie nichts, wenn sie 0 ist. Jede Variable in der Gruppe wird ODER-verknüpft, und dies bildet ein Produkt von Summen mit den anderen Gruppierungen (falls vorhanden) – das Ergebnis ist ebenfalls eine UND-ODER-Logik.

Ich bin mir nicht sicher, was mir fehlt.

nidhin

NAND-NAND und AND-OR sind gleich. Damit können Sie direkt eine SOP umsetzen. In ähnlicher Weise kann NOR-NOR verwendet werden, um ein POS einfach zu implementieren.

Linkshänder

Kann dies mit dem Theorem von DeMorgan durchgeführt werden?

nidhin

Unter Verwendung des Theorems von DeMorgan kann bewiesen werden, dass NANAD-NAND äquivalent zu AND-OR (SOP) und NOR-NOR äquivalent zu OR-AND (POS) ist.

Fizz

Ich bin mir nicht sicher, welche Lehrbücher Sie verwenden, aber dies ist ziemlich Standardmaterial, z. B. books.google.com/books?id=xqLl9_YwYn4C&pg=SA2-PA27

Antworten (1)

Konvertieren von Karnaugh-Maps in boolesche Ausdrücke

NAND-NAND und AND-OR sind gleich. Damit können Sie direkt eine SOP umsetzen. In ähnlicher Weise kann NOR-NOR verwendet werden, um ein POS einfach zu implementieren.
Kann dies mit dem Theorem von DeMorgan durchgeführt werden?
Unter Verwendung des Theorems von DeMorgan kann bewiesen werden, dass NANAD-NAND äquivalent zu AND-OR (SOP) und NOR-NOR äquivalent zu OR-AND (POS) ist.
Ich bin mir nicht sicher, welche Lehrbücher Sie verwenden, aber dies ist ziemlich Standardmaterial, z. B. books.google.com/books?id=xqLl9_YwYn4C&pg=SA2-PA27

nidhin · Answer 1

Was du verstanden hast ist richtig. Das Gruppieren von Mintemergebnissen in Form der Produktsumme (SOP) oder der UND-ODER-Form, wie in (1) gezeigt

\begin{matrix} (1) & Y = A_{1} A_{2} A_{3} + B_{1} B_{2} B_{3} + \dots + ω_{1} ω_{2} ω_{3} \end{matrix}

$Y = a_1a_2a_3 + b_1b_2b_3 + \cdots + \omega_1\omega_2\omega_3\tag1$ Berechnung

\bar{Y}

$\overline{Y}$ unter Verwendung des Satzes von De-Morgan,

\bar{Y} = (\bar{A_{1} A_{2} A_{3}}) (\bar{B_{1} B_{2} B_{3}}) \dots (\bar{ω_{1} ω_{2} ω_{3}})

$\overline{Y} = (\overline{a_1a_2a_3} )\ (\overline{b_1b_2b_3}) \cdots (\overline{\omega_1\omega_2\omega_3})$ Daraus lässt sich Y schreiben als

\begin{matrix} (2) & Y = \bar{(\bar{A_{1} A_{2} A_{3}}) (\bar{B_{1} B_{2} B_{3}}) \dots (\bar{ω_{1} ω_{2} ω_{3}})} \end{matrix}

$Y = \overline{(\overline{a_1a_2a_3} )\ (\overline{b_1b_2b_3}) \cdots (\overline{\omega_1\omega_2\omega_3})}\tag2$

Dies ist die NAND-NAND-Form, da Variablen in einer Gruppe zusammen NAND-verknüpft und erneut NAND-verknüpft werden, um Y zu erhalten. Die UND-ODER-Form und die NAND-NAND-Form sind also äquivalent.

Zu beachten ist (aus (1) und (2)), dass eine UND-ODER-Schaltung in eine NAND-NAND-Schaltung umgewandelt werden kann, indem einfach die UND- und ODER-Gatter durch NAND-Gatter ersetzt werden, ohne dass irgendwelche Verbindungen geändert werden.

Das Gruppieren von "1" von K-Map ermöglicht es uns also, AND-OR und NAND-NAND einfach zu bilden.

In ähnlicher Weise erzeugt die Gruppierung von maxterms eine POS- oder OR-AND-Form:

\begin{matrix} (3) & Y = (A_{1} + A_{2} + A_{3}) (B_{1} + B_{2} + B_{3}) \dots (ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}) \end{matrix}

${Y} = ({a_1+a_2+a_3} )\ ({b_1+b_2+b_3}) \cdots ({\omega_1+\omega_2+\omega_3})\tag3$

Mit dem Theorem von De-Morgan kann bewiesen werden, dass OR-AND der NOR-NOR-Form entspricht.

Das Gruppieren von "0" von K-Map ermöglicht es uns also, OR-AND und NOR-NOR einfach zu bilden.

AKTUALISIEREN:

Von K-Map müssen Sie SOP oder POS finden, dann können Sie direkt mit einer NAND-NAND- oder NOR-NOR-Schaltung implementieren.

Angenommen, Sie haben von K-Map die folgende SOP von K-Map erhalten

Y = A B C + A B \bar{C} + \bar{A} B C

$Y = abc + ab\overline{c} + \overline{a}bc$

Sie können dies mit UND-ODER-Logik wie folgt implementieren:

schematisch

Genauso kann es mit NAND-NAND implementiert werden wie,

schematisch

Wenn Sie also direkt eine UND-ODER-Schaltung aus der K-Karte (SOP) zeichnen können, können Sie NAND-NAND zeichnen, indem Sie einfach die Gatter durch NAND ersetzen. In ähnlicher Weise kann bei gegebenem POS eine NOR-NOR-Schaltung direkt gezeichnet werden.

Ich schätze die ausführliche Antwort. Danke! Das klärt die Sache wirklich auf. Ich denke, mein Professor hat NAND-NAND- und NOR-NOR-Logik direkt aus der K-Map verwendet, weshalb es vielleicht etwas verwirrend war.
Wie erhalten Sie NAND-NAND und NOR-NOR direkt aus der K-Karte, ohne "1" zu gruppieren und den Satz von DeMorgan anzuwenden?
@Lefty Ich habe die Antwort bearbeitet. Ich denke, das Update kann es für Sie erklären.
Danke vielmals! Ich weiß nicht, warum mein Professor die Dinge zu kompliziert macht. Das Update hilft sehr.

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