Konvertieren zwischen Matrixmultiplikation und Tensorkontraktion

Slogan: Matrizen sind ein Werkzeug, um Summen zu berechnen; Tensoren sagen Ihnen, welche Summen sinnvoll sind.

Wenn Sie zwischen Rang-2-Tensoren und Matrizen konvertieren, ist die Entscheidung, welcher Index des Tensors die Zeilen und welcher die Spalten beschriftet, rein konventionell. Die Matrixmultiplikation ist nicht mehr als eine bequeme Möglichkeit, Produkte der Form zu schreiben

wobei ich bewusst darauf verzichtet habe, Indizes zur Kennzeichnung von Matrixelementen zu verwenden; stattdessen beschriftet das erste Argument Zeilen und das zweite Argument Spalten.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie möchten die Kontraktion berechnen$A^{ij} B_{jk}$. Definiere die Matrix$M$durch$M(i,j) = A^{ij}$, die Matrix$N$durch$N(j,k) = B_{jk}$und die Matrix$K$durch$K(i,k) = A^{ij}B_{jk}$. Vergleichen Sie dann die Definitionen der Tensorkontraktion* und der Matrixmultiplikation, um das zu sehen

Jetzt definieren $\tilde M(j,i) = A^{ij}$,$\tilde N(j,k) = B_{ij}$,$\tilde K(k,i) = A^{ij}B_{jk}$. Die Komponenten der Kontraktion, die Sie wollen, und die Tensoren, die Sie kennen, sind immer noch alle darin enthalten$\tilde K$,$\tilde M$und$\tilde N$, aber anders . Das erneute Anpassen der Definitionen von Multiplikation und Kontraktion (und Transponieren) ergibt jetzt

Sehen Sie sich das alles noch einmal an. Sie haben dieselbe Tensorkontraktion zweimal berechnet, indem Sie verschiedene Produkte verschiedener Matrizen verwendet haben. (Natürlich in der Tat$\tilde M = M^T$,$\tilde N = N$und$\tilde K = K^T$.) In Wirklichkeit würden Sie Buchstaben sparen, so meine$M$würde auch angerufen$A$, aber das ist nichts weiter als ein Schreibfehler. Das Rechnen ist alles, wofür Matrixprodukte gut sind. Die Bedeutung der Summen muss an anderer Stelle ermittelt werden, normalerweise aus den Tensorkontraktionen, die sie darstellen. Eine „Matrix“ ist kein geometrisches Objekt (und kann somit auch kein physikalisches Objekt sein).

Andererseits ist ein Tensor ein geometrisches Objekt. Ich werde nicht versuchen zu beschreiben, was Tensoren wirklich sind (es sei denn, Sie fragen in den Kommentaren danach), aber versuchen Sie als Vorspeise, über den Unterschied zwischen nachzudenken

• Vektoren$u, v\in V$und skalare lineare Funktionen$\phi, \psi : V\to\mathbf R$, da$\phi(u)$und$\psi(v)$macht aber Sinn$u(v)$und$\phi(\psi)$nicht; Denken Sie jetzt daran, dass Dinge wie$\phi_iu^i$sind gut definiert, aber solche wie$u^iv^i$sind nicht;
• lineare Karten$A, B : V\to V$wie Drehungen und bilineare Funktionen$f, g : V\times V\to\mathbf R$, da$A(u)$ist ein Vektor,$f(u,v)$ist ein Skalar,$A\circ B$ist eine lineare Karte, aber$A(u,v)$und$f\circ g$sind bedeutungslos; Denken Sie jetzt daran, dass Sie sich zusammenziehen können$A^i_ju^j$,$f_{ij}u^iv^j$und$A^i_jB^j_k$(und schauen Sie sich die Anordnung der freien Indizes an), aber auch nicht$A^i_ju^iv^j$Noch$f_{ij}g_{jk}$.

^{* Ich gehe davon aus, dass Ihre Tensoren und ihre Kontraktionen in der Tradition der Physiker als Sammlungen von Koordinaten mit unverständlichen Eigenschaften definiert sind, die große Summen beinhalten. Diese Definition ist entschieden nicht die am leichtesten verständliche; Versuchen Sie, bei MathOverflow nach demjenigen zu suchen oder zu fragen, der universelle Eigenschaften verwendet .}

Wie @AccidentalFourierTransform sagte, ist es ein Fehler, Tensoren als Matrizen zu betrachten, da Sie schnell verrückt werden, wenn Sie rechnen müssen$A^{\alpha\beta\gamma\delta}B_{\beta\delta}$oder so. Das gesagt$A^{\alpha\beta}B_{\alpha\gamma}$'sieht aus wie'$A^TB$.

Die richtige Art, sich Tensoren vorzustellen, ist als multilineare Funktionen, denn das sind sie tatsächlich. In der Indexschreibweise entspricht dann jeder Index einem Slot in der Funktion. Also ein$(2,2)$Tensor$T$ist eine Funktion$T(\_,\_;\_,\_)$wobei die ersten beiden Argumente Einsformen wollen und die zweiten zwei Vektoren. Dieser sagt Ihnen dann, wie Sie die Indizes der Komponenten schreiben: nicht übereinander, sondern in der Reihenfolge der Argumente, also$T^{\alpha\beta}{}_{\gamma\delta}$, und nicht $T^{\alpha\beta}_{\gamma\delta}$, was hinsichtlich der Argumentreihenfolge mehrdeutig ist.

Es ist wirklich wichtig, sich daran zu erinnern, dass Tensoren multilineare Funktionen sind , denn wenn Sie das nicht tun, werden Sie unweigerlich in die schreckliche Grube der Index-Gymnastik fallen und auf die vergifteten Stacheln der Kontravarianz und Kovarianz aufgespießt werden, von denen nur wenige jemals Flucht. Denken Sie daran, dass es Geometrie gibt, nicht nur Indizes und Transformationsregeln.

Eine Möglichkeit, diese Falle zu umgehen und dennoch in einer bequemen Notation zu arbeiten, ist die Verwendung der Abstract-Index-Notation von Penrose. Das bequemste von allem ist, dass Sie nichts ändern müssen, um es zu verwenden, obwohl Sie vielleicht die Symbole ändern möchten, aus denen Sie Indizes auswählen.

Als Mathematiker möchte ich auf die folgende Formalität hinweisen:

Was wir als Matrix darstellen (können) sind Tensoren mit einem Index nach oben und einem Index nach unten , also Elemente von$V\otimes V^*$(wo$V$ist ein Vektorraum oder ein Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit). Ein Tensor mit zwei Indizes nach oben ist eine bilineare Form an$V$, und eine mit zwei Indizes nach unten in bilinearer Form auf$V^*$, und daher gibt es keine (natürliche) Art der Kontraktion, und hier kommt die Metrik ins Spiel: Sie verwenden sie, um eine bilineare Form in eine Karte umzuwandeln$V\to V$(also ein Element von$V\otimes V^*$) oder$V^*\to V^*$. Symplektische Formen können in verschiedenen Situationen ähnliche Rollen spielen.

Natürlich, wenn Sie zwei Tensoren haben$A^\mu_\nu,B^\eta_\theta$, die als Matrizen dargestellt werden können$A,B$ Wenn Sie eine Basis Ihres Vektorraums festlegen , dann die Kontraktion$A^\mu_iB^i_\nu$wird durch die Matrixmultiplikation dargestellt$AB$.