Koordinatenänderung vs. Bezugsachsenänderung

Eine visuelle Erklärung ist vielleicht nicht erforderlich, aber ich werde dies so intuitiv wie möglich erklären.

Die Antwort auf diese Frage ist der Schlüssel dafür, warum wir Indizes und Indizes für Objekte wie Vektoren, Kovariante und Kontravariante benennen .

Wie Sie wissen, ist die tatsächliche Länge des Vektors eine Invariante und muss gleich bleiben, egal wie wir seine Koordinaten auf einer bestimmten Basis identifizieren. Egal wohin der Vektor zeigt, er hat eine bestimmte Länge im Raum. Wenn wir also einen Vektor in einer Basis haben und ihn dann in einer anderen Basis schreiben, müssen wir dies tun, ohne die Länge des Vektors zu ändern.

Nennen wir einen Vektor in einer Basis$v$, die Basisvektoren hat$e$, und ruf es an$v'$in einer anderen Basis, mit Basisvektoren$e'$, so dass$v'=v$(Im Algemeinen$e'\ne e$). Außerdem verwenden wir Indizes, dh.$e_i$für Basisvektoren und hochgestellte Zeichen, dh$v^j$für Koordinaten.

Wie Sie vielleicht bereits wissen, eine allgemeine Transformation von einer Basis$e$auf eine neue Grundlage$e'$kann definiert werden durch

$$\tag 1 e' = e T$$ Wo$T$ist eine Transformationsmatrix (oder Tensor).

Wir könnten dieselbe Matrix verwenden , um Koordinatenvektoren zu transformieren, obwohl wir nicht erwarten würden, dass wir dieselbe Formel verwenden können . Denn hier spielen die Basen und die Koordinaten unterschiedliche Rollen. Das heißt, die Basiselemente sind Vektoren, die das Koordinatensystem beschreiben, während die tatsächlichen Koordinaten nur skalare Zahlen sind, die die Position der Vektoren beschreiben.

Angenommen, ich habe ein schiefes Koordinatensystem und beschließe, beide „Achsen“ um den Faktor a bzw. b zu vergrößern.

Im Allgemeinen könnten Sie einen Vektor schreiben

$$v = v^1 e_1 + v^2 e_2 \cdots + v^n e_n$$ und bedenken Sie jetzt, dass wir eine neue Basis haben$e'$die wir durch die Multiplikation von erhalten$2$auf Basis von Vektoren$e_i$ und eine Multiplikation von$2$die Koordinaten$v_j$sowie. Dann würden wir mit einem Vektor enden, der ist$4$mal seiner ursprünglichen Größe, was unserer ersten Prämisse widerspricht. Was wir hätten tun sollen, ist das zu multiplizieren$e_i$ist vorbei$2$sondern multiplizieren$v_j$ist durch die Umkehrung von$2$, nämlich$\frac{1}{2}$zu bekommen$v' = v$was mit unserer ersten Prämisse übereinstimmt.

Also, wenn wir das jemals ändern müssen$e$'s um einen Faktor, dann die$v$müssen um den inversen Faktor geändert werden, um unsere ursprüngliche Prämisse beizubehalten. Mit anderen Worten, zu transformieren$v$hinein$v′$in der Grundlage$e′$müssen wir stattdessen verwenden

$$\tag 2 v' = T^{-1} v$$

Die Tatsache, dass sich Basiselemente gemäß Gleichung (1) ändern, während sich die Koordinaten „invers“ gemäß Gleichung (2) ändern, ist auch der Grund, warum die Basiselemente kovariant und die Vektorkoordinaten kontravariant genannt werden (und auch warum wir dasselbe mit tiefgestellten und hochgestellten Zeichen kennzeichnen). Beachten Sie auch, dass einige Leute entgegengesetzte Positionen bei Indizes verwenden.

Ein Koordinatensystem ist im Wesentlichen eine Möglichkeit, Punkte in Ihrem Raum eindeutig zu kennzeichnen$N$-Tupel reeller Zahlen,$(x^1,\ldots,x^N)$. Eine Basiswahl ist eine Zuordnung einer Menge von Vektoren$\{\hat e_1,\ldots, \hat e_N\}$zu jedem Punkt, bezüglich dessen wir Vektor- und Tensorgrößen in Komponenten entwickeln können. Es gibt keinen Grund, dass die Wahl des Koordinatensystems und die Wahl der Basis irgendetwas miteinander zu tun haben.

Allerdings eine Auswahl an Koordinaten$(x^1,\ldots,x^N)$kommt mit freier ( wie beim Bier ) Wahl der Basis, nämlich dem Satz der Basisvektoren$\big\{\frac{\partial}{\partial x^1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^N}\big\}$. Es ist oft praktisch – besonders in der elementaren Differentialgeometrie – die Dinge einfach zu halten, indem man die natürliche Basis wählt, die durch Ihr Koordinatensystem induziert wird. Wenn Sie dies tun, dann eine Änderung der Koordinaten$x^\mu\mapsto y^\mu$bewirkt einen entsprechenden Basiswechsel$\frac{\partial}{\partial x^\mu} \mapsto \frac{\partial}{\partial y^\mu}= \frac{\partial x^\alpha}{\partial y^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\alpha}$.

Wenn Sie Ihre Koordinaten skalieren, also$y^\mu = a x^\mu$, dann wird Ihre koordinateninduzierte Basis anders skaliert, dh$\frac{\partial}{\partial y^\mu} = \frac{1}{a}\frac{\partial}{\partial x^\mu}$.

Natürlich kann es manchmal unbequem sein, eine koordinateninduzierte Basis zu haben – insbesondere, weil solche Basen dazu neigen, nicht orthonormal zu sein. Wir sind ( wie in der Sprache ) frei, jede Basis zu verwenden, die wir wählen, wenn sie für unsere Bedürfnisse bequemer ist, sogar eine, die überhaupt nicht durch irgendein Koordinatensystem induziert wird. Wenn Sie nicht die natürliche, koordinateninduzierte Basis verwenden, müssen Sie natürlich genauer angeben, welche Basen Sie vor und nach der Koordinatentransformation verwenden werden.

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Um diesen Punkt deutlicher zu veranschaulichen, betrachten Sie Polarkoordinaten$(r,\theta)$. für die Euklidische Ebene. Die koordinateninduzierte Basis, gegeben durch$\big\{\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$, ist nicht orthonormal; der metrische Tensor in diesen Koordinaten ist gegeben durch

$$g_{\mu\nu} = \pmatrix{1 & 0 \\\ 0 & r^2 }$$ was bedeutet, dass die inneren Produkte sind

$$g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial r}\right)=1, \quad g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=r^2,\quad g\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)=g\left(\frac{\partial}{\partial \theta},\frac{\partial}{\partial r}\right)=0$$

Diese Basis ist orthogonal, aber$\frac{\partial}{\partial \theta}$ist nicht normalisiert. Wir können stattdessen eine orthonormale Basis wählen, gegeben durch

$$\hat e_r = \frac{\partial}{\partial r} \qquad \hat e_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$

Wenn wir unsere Koordinaten so skalieren$r\mapsto \rho=ar$, dann ändert sich die koordinateninduzierte Basis zu$\big\{\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\} = \big\{\frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial \theta}\big\}$. Wenn wir diese koordinateninduzierte Basis jedoch nicht verwenden möchten, gibt es keinen Grund, warum wir dies tun müssen.

Insbesondere, wenn wir die orthonormale Basis verwenden möchten$\{\hat e_r,\hat e_\theta\}$sowohl vor als auch nach der Koordinatenänderung, dann gibt es keinen Grund, warum wir das nicht können - in diesem Fall ändern sich die Basisvektoren überhaupt nicht (offensichtlich).