Korrelierte Drei-Teilchen-Grün-Funktion

Question

Korrelierte Drei-Teilchen-Grün-Funktion

Physik
Vielkörper
Dochtsatz
Greens-Funktionen
Quantenfeldtheorie

zischen

Ich kenne die Beziehung zwischen normalen und korrelierten grünen Zwei-Teilchen-Funktionen für Fermionen:

G_{C} (1, 2, 3, 4) = Γ (1, 2, 3, 4) = G (1, 2, 3, 4) + G (1, 3) G (2, 4) - G (1, 4) G (2, 3)

$G_c(1,2,3,4)=\Gamma(1,2,3,4)=G(1,2,3,4)+G(1,3)G(2,4)-G(1,4)G(2,3)$ Auch bekannt als irreduzible n-Teilchen-Grün-Funktion oder n-Teilchen-Vertex (es gibt viele Definitionen, also bin ich verwirrt).

Die Definitionen für G variieren ebenfalls, ich verwende diese: $G(1..2n) = (-1)^{n}\langle T\ c_1\dots c_n c_{n+1}^\dagger\dots c_{2n}^\dagger \rangle$

Ich brauche eine ähnliche Beziehung für Drei-Teilchen-Funktionen.

Jetzt habe ich diese Formel:

Γ (1, 2, 3, 4, 5, 6) = G (1, 2, 3, 4, 5, 6) - 2 G (1, 4) G (2, 5) G (3, 6) + 2 G (1, 4) G (2, 6) G (3, 5) - 2 G (1, 5) G (2, 6) G (3, 4) + 2 G (1, 5) G (2, 4) G (3, 6) - 2 G (1, 6) G (2, 4) G (3, 5) + 2 G (1, 6) G (2, 5) G (3, 4) - G (1, 4) G (2, 3, 5, 6) + G (1, 5) G (2, 3, 4, 6) - G (1, 6) G (2, 3, 4, 5) + G (2, 4) G (1, 3, 5, 6) - G (2, 5) G (1, 3, 4, 6) + G (2, 6) G (1, 3, 4, 5) - G (3, 4) G (1, 2, 5, 6) + G (3, 5) G (1, 2, 4, 6) - G (3, 6) G (1, 2, 4, 5)

$\Gamma(1,2,3,4,5,6) = G(1, 2, 3, 4, 5, 6) -2 G(1, 4) G(2, 5) G(3, 6) +2 G(1, 4) G(2, 6) G(3, 5) -2 G(1, 5) G(2, 6) G(3, 4) +2 G(1, 5) G(2, 4) G(3, 6) -2 G(1, 6) G(2, 4) G(3, 5) +2 G(1, 6) G(2, 5) G(3, 4) -G(1, 4) G(2, 3, 5, 6) +G(1, 5) G(2, 3, 4, 6) -G(1, 6) G(2, 3, 4, 5) +G(2, 4) G(1, 3, 5, 6) -G(2, 5) G(1, 3, 4, 6) +G(2, 6) G(1, 3, 4, 5) -G(3, 4) G(1, 2, 5, 6) +G(3, 5) G(1, 2, 4, 6) -G(3, 6) G(1, 2, 4, 5)$ Aber es erfüllt nicht immer Wicks Theorem für den Hamiltonian, mit dem ich arbeite. Ist diese Formel richtig?

Es wäre auch großartig, eine Erklärung dafür zu bekommen, wie diese Formeln in der Vielkörpertheorie erscheinen, aus dem Logarithmus der zeitlich geordneten Exponentialfunktion.

Slawen

Warum fehlt es dir?

- G (1, 3) G (2, 4)

$-G(1,3) G(2,4)$ ist deine Faustgleichung? Allgemeine Regeln für kumulative Erweiterung/Dochtpaarung enthalten alle möglichen Paarungen, es sei denn, es liegen problemspezifische Gründe für eine Aufhebung vor.

zischen

@Slaviks Es sind Vernichtungs-Erstellungs-Operatorpaare, also gibt es nur zwei davon.

Antworten (1)

Korrelierte Drei-Teilchen-Grün-Funktion

Warum fehlt es dir? $-G(1,3) G(2,4)$ ist deine Faustgleichung? Allgemeine Regeln für kumulative Erweiterung/Dochtpaarung enthalten alle möglichen Paarungen, es sei denn, es liegen problemspezifische Gründe für eine Aufhebung vor.
@Slaviks Es sind Vernichtungs-Erstellungs-Operatorpaare, also gibt es nur zwei davon.

Slawen · Answer 1

Ich konnte beide Formeln bestätigen, vorausgesetzt, die Operatoren sind fermionisch und normal geordnet.

Hier ist der allgemeine Algorithmus zum Generieren eines kumulierten Durchschnitts von $n$ Variablen (entnommen von Seite Seite 34 von GWGardiner, Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences , zugeschrieben van Kampen):

G_{C} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}) = \sum_{P = 0}^{N - 1} (- 1)^{P} C_{P} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N})

$G_c(X_1,X_2,\ldots, X_n)=\sum_{p=0}^{n-1}(-1)^p C_p(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ Wo

C_{P} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}) = G (X_{1}) G (X_{2}, X_{3}, \dots, X_{N}) + \dots

$C_p(X_1,X_2,\ldots,X_n)=G(X_1) G(X_2,X_3,\ldots,X_n)+ \ldots$ ist die Summe über alle verschiedenen Partitionen von

n

$n$ Variablen hinein

p

$p$ Teilmengen, mit der Mittelungsfunktion

G

$G$ auf jede Teilmenge angewendet. Wenn die Operatoren fermionisch sind, dann ist jeder Term in

C_{p}

$C_p$ muss mit dem Vorzeichen der gewünschten Permutation multipliziert werden.

Hier die Verweise auf die Originalarbeiten:

E. Meeron, J.Chem. Phys. 27, 1238 (1957); DOI:10.1063/1.1743985
NG van Kampen, Physica 74, 215 (1973); 74, 239 (1973.)

Nun zur Computeralgebra: Mit dieser Antwort ist es einfach, einen Mathematica-Code zu schreiben $C_p$ und somit $G_c$ für den allgemeinen Fall.

Unter der Annahme, dass alle Ihre Variablen bis 3 Erzeugungsoperatoren sind und von 4 bis 6 Vernichtungsoperatoren (oder umgekehrt) und dass die Teilchenzahl wohldefiniert ist, müssen wir nur Mittelwerte von einer gleichen Anzahl von Erzeugungs- und halten Vernichtungsoperatoren. Auf diese Weise kann ich die Gültigkeit jedes Begriffs in beiden zitierten Formeln bestätigen .

Als "Proof of Work" kann ich Ihnen die verbundene Funktion von 8 Variablen anbieten (hoffe, es macht MathJax in Ihrem Browser nicht kaputt):

G_{C} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = - 6 G (1, 8) G (2, 7) G (3, 6) G (4, 5) + 6 G (1, 7) G (2, 8) G (3, 6) G (4, 5) + 6 G (1, 8) G (2, 6) G (3, 7) G (4, 5) - 6 G (1, 6) G (2, 8) G (3, 7) G (4, 5) - 6 G (1, 7) G (2, 6) G (3, 8) G (4, 5) + 6 G (1, 6) G (2, 7) G (3, 8) G (4, 5) + 2 G (3, 8) G (1, 2, 6, 7) G (4, 5) - 2 G (3, 7) G (1, 2, 6, 8) G (4, 5) + 2 G (3, 6) G (1, 2, 7, 8) G (4, 5) - 2 G (2, 8) G (1, 3, 6, 7) G (4, 5) + 2 G (2, 7) G (1, 3, 6, 8) G (4, 5) - 2 G (2, 6) G (1, 3, 7, 8) G (4, 5) + 2 G (1, 8) G (2, 3, 6, 7) G (4, 5) - 2 G (1, 7) G (2, 3, 6, 8) G (4, 5) + 2 G (1, 6) G (2, 3, 7, 8) G (4, 5) - G (1, 2, 3, 6, 7, 8) G (4, 5) + 6 G (1, 8) G (2, 7) G (3, 5) G (4, 6) - 6 G (1, 7) G (2, 8) G (3, 5) G (4, 6) - 6 G (1, 8) G (2, 5) G (3, 7) G (4, 6) + 6 G (1, 5) G (2, 8) G (3, 7) G (4, 6) + 6 G (1, 7) G (2, 5) G (3, 8) G (4, 6) - 6 G (1, 5) G (2, 7) G (3, 8) G (4, 6) - 6 G (1, 8) G (2, 6) G (3, 5) G (4, 7) + 6 G (1, 6) G (2, 8) G (3, 5) G (4, 7) + 6 G (1, 8) G (2, 5) G (3, 6) G (4, 7) - 6 G (1, 5) G (2, 8) G (3, 6) G (4, 7) - 6 G (1, 6) G (2, 5) G (3, 8) G (4, 7) + 6 G (1, 5) G (2, 6) G (3, 8) G (4, 7) + 6 G (1, 7) G (2, 6) G (3, 5) G (4, 8) - 6 G (1, 6) G (2, 7) G (3, 5) G (4, 8) - 6 G (1, 7) G (2, 5) G (3, 6) G (4, 8) + 6 G (1, 5) G (2, 7) G (3, 6) G (4, 8) + 6 G (1, 6) G (2, 5) G (3, 7) G (4, 8) - 6 G (1, 5) G (2, 6) G (3, 7) G (4, 8) + 2 G (3, 8) G (4, 7) G (1, 2, 5, 6) - 2 G (3, 7) G (4, 8) G (1, 2, 5, 6) - 2 G (3, 8) G (4, 6) G (1, 2, 5, 7) + 2 G (3, 6) G (4, 8) G (1, 2, 5, 7) + 2 G (3, 7) G (4, 6) G (1, 2, 5, 8) - 2 G (3, 6) G (4, 7) G (1, 2, 5, 8) - 2 G (3, 5) G (4, 8) G (1, 2, 6, 7) + 2 G (3, 5) G (4, 7) G (1, 2, 6, 8) - 2 G (3, 5) G (4, 6) G (1, 2, 7, 8) - 2 G (2, 8) G (4, 7) G (1, 3, 5, 6) + 2 G (2, 7) G (4, 8) G (1, 3, 5, 6) + 2 G (2, 8) G (4, 6) G (1, 3, 5, 7) - 2 G (2, 6) G (4, 8) G (1, 3, 5, 7) - 2 G (2, 7) G (4, 6) G (1, 3, 5, 8) + 2 G (2, 6) G (4, 7) G (1, 3, 5, 8) + 2 G (2, 5) G (4, 8) G (1, 3, 6, 7) - 2 G (2, 5) G (4, 7) G (1, 3, 6, 8) + 2 G (2, 5) G (4, 6) G (1, 3, 7, 8) + 2 G (2, 8) G (3, 7) G (1, 4, 5, 6) - 2 G (2, 7) G (3, 8) G (1, 4, 5, 6) - 2 G (2, 8) G (3, 6) G (1, 4, 5, 7) + 2 G (2, 6) G (3, 8) G (1, 4, 5, 7) + 2 G (2, 7) G (3, 6) G (1, 4, 5, 8) - 2 G (2, 6) G (3, 7) G (1, 4, 5, 8) + 2 G (2, 8) G (3, 5) G (1, 4, 6, 7) - 2 G (2, 5) G (3, 8) G (1, 4, 6, 7) - 2 G (2, 7) G (3, 5) G (1, 4, 6, 8) + 2 G (2, 5) G (3, 7) G (1, 4, 6, 8) + 2 G (2, 6) G (3, 5) G (1, 4, 7, 8) - 2 G (2, 5) G (3, 6) G (1, 4, 7, 8) + 2 G (1, 8) G (4, 7) G (2, 3, 5, 6) - 2 G (1, 7) G (4, 8) G (2, 3, 5, 6) - G (1, 4, 7, 8) G (2, 3, 5, 6) - 2 G (1, 8) G (4, 6) G (2, 3, 5, 7) + 2 G (1, 6) G (4, 8) G (2, 3, 5, 7) + G (1, 4, 6, 8) G (2, 3, 5, 7) + 2 G (1, 7) G (4, 6) G (2, 3, 5, 8) - 2 G (1, 6) G (4, 7) G (2, 3, 5, 8) - G (1, 4, 6, 7) G (2, 3, 5, 8) - 2 G (1, 5) G (4, 8) G (2, 3, 6, 7) - G (1, 4, 5, 8) G (2, 3, 6, 7) + 2 G (1, 5) G (4, 7) G (2, 3, 6, 8) + G (1, 4, 5, 7) G (2, 3, 6, 8) - 2 G (1, 5) G (4, 6) G (2, 3, 7, 8) - G (1, 4, 5, 6) G (2, 3, 7, 8) - 2 G (1, 8) G (3, 7) G (2, 4, 5, 6) + 2 G (1, 7) G (3, 8) G (2, 4, 5, 6) + G (1, 3, 7, 8) G (2, 4, 5, 6) + 2 G (1, 8) G (3, 6) G (2, 4, 5, 7) - 2 G (1, 6) G (3, 8) G (2, 4, 5, 7) - G (1, 3, 6, 8) G (2, 4, 5, 7) - 2 G (1, 7) G (3, 6) G (2, 4, 5, 8) + 2 G (1, 6) G (3, 7) G (2, 4, 5, 8) + G (1, 3, 6, 7) G (2, 4, 5, 8) - 2 G (1, 8) G (3, 5) G (2, 4, 6, 7) + 2 G (1, 5) G (3, 8) G (2, 4, 6, 7) + G (1, 3, 5, 8) G (2, 4, 6, 7) + 2 G (1, 7) G (3, 5) G (2, 4, 6, 8) - 2 G (1, 5) G (3, 7) G (2, 4, 6, 8) - G (1, 3, 5, 7) G (2, 4, 6, 8) - 2 G (1, 6) G (3, 5) G (2, 4, 7, 8) + 2 G (1, 5) G (3, 6) G (2, 4, 7, 8) + G (1, 3, 5, 6) G (2, 4, 7, 8) + 2 G (1, 8) G (2, 7) G (3, 4, 5, 6) - 2 G (1, 7) G (2, 8) G (3, 4, 5, 6) - G (1, 2, 7, 8) G (3, 4, 5, 6) - 2 G (1, 8) G (2, 6) G (3, 4, 5, 7) + 2 G (1, 6) G (2, 8) G (3, 4, 5, 7) + G (1, 2, 6, 8) G (3, 4, 5, 7) + 2 G (1, 7) G (2, 6) G (3, 4, 5, 8) - 2 G (1, 6) G (2, 7) G (3, 4, 5, 8) - G (1, 2, 6, 7) G (3, 4, 5, 8) + 2 G (1, 8) G (2, 5) G (3, 4, 6, 7) - 2 G (1, 5) G (2, 8) G (3, 4, 6, 7) - G (1, 2, 5, 8) G (3, 4, 6, 7) - 2 G (1, 7) G (2, 5) G (3, 4, 6, 8) + 2 G (1, 5) G (2, 7) G (3, 4, 6, 8) + G (1, 2, 5, 7) G (3, 4, 6, 8) + 2 G (1, 6) G (2, 5) G (3, 4, 7, 8) - 2 G (1, 5) G (2, 6) G (3, 4, 7, 8) - G (1, 2, 5, 6) G (3, 4, 7, 8) + G (4, 8) G (1, 2, 3, 5, 6, 7) - G (4, 7) G (1, 2, 3, 5, 6, 8) + G (4, 6) G (1, 2, 3, 5, 7, 8) - G (3, 8) G (1, 2, 4, 5, 6, 7) + G (3, 7) G (1, 2, 4, 5, 6, 8) - G (3, 6) G (1, 2, 4, 5, 7, 8) + G (3, 5) G (1, 2, 4, 6, 7, 8) + G (2, 8) G (1, 3, 4, 5, 6, 7) - G (2, 7) G (1, 3, 4, 5, 6, 8) + G (2, 6) G (1, 3, 4, 5, 7, 8) - G (2, 5) G (1, 3, 4, 6, 7, 8) - G (1, 8) G (2, 3, 4, 5, 6, 7) + G (1, 7) G (2, 3, 4, 5, 6, 8) - G (1, 6) G (2, 3, 4, 5, 7, 8) + G (1, 5) G (2, 3, 4, 6, 7, 8) + G (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

$G_c(1,2,3,4,5,6,7,8)=-6 G(1,8) G(2,7) G(3,6) G(4,5)+6 G(1,7) G(2,8) G(3,6) G(4,5)+6 G(1,8) G(2,6) G(3,7) G(4,5)-6 G(1,6) G(2,8) G(3,7) G(4,5)-6 G(1,7) G(2,6) G(3,8) G(4,5)+6 G(1,6) G(2,7) G(3,8) G(4,5)+2 G(3,8) G(1,2,6,7) G(4,5)-2 G(3,7) G(1,2,6,8) G(4,5)+2 G(3,6) G(1,2,7,8) G(4,5)-2 G(2,8) G(1,3,6,7) G(4,5)+2 G(2,7) G(1,3,6,8) G(4,5)-2 G(2,6) G(1,3,7,8) G(4,5)+2 G(1,8) G(2,3,6,7) G(4,5)-2 G(1,7) G(2,3,6,8) G(4,5)+2 G(1,6) G(2,3,7,8) G(4,5)-G(1,2,3,6,7,8) G(4,5)+6 G(1,8) G(2,7) G(3,5) G(4,6)-6 G(1,7) G(2,8) G(3,5) G(4,6)-6 G(1,8) G(2,5) G(3,7) G(4,6)+6 G(1,5) G(2,8) G(3,7) G(4,6)+6 G(1,7) G(2,5) G(3,8) G(4,6)-6 G(1,5) G(2,7) G(3,8) G(4,6)-6 G(1,8) G(2,6) G(3,5) G(4,7)+6 G(1,6) G(2,8) G(3,5) G(4,7)+6 G(1,8) G(2,5) G(3,6) G(4,7)-6 G(1,5) G(2,8) G(3,6) G(4,7)-6 G(1,6) G(2,5) G(3,8) G(4,7)+6 G(1,5) G(2,6) G(3,8) G(4,7)+6 G(1,7) G(2,6) G(3,5) G(4,8)-6 G(1,6) G(2,7) G(3,5) G(4,8)-6 G(1,7) G(2,5) G(3,6) G(4,8)+6 G(1,5) G(2,7) G(3,6) G(4,8)+6 G(1,6) G(2,5) G(3,7) G(4,8)-6 G(1,5) G(2,6) G(3,7) G(4,8)+2 G(3,8) G(4,7) G(1,2,5,6)-2 G(3,7) G(4,8) G(1,2,5,6)-2 G(3,8) G(4,6) G(1,2,5,7)+2 G(3,6) G(4,8) G(1,2,5,7)+2 G(3,7) G(4,6) G(1,2,5,8)-2 G(3,6) G(4,7) G(1,2,5,8)-2 G(3,5) G(4,8) G(1,2,6,7)+2 G(3,5) G(4,7) G(1,2,6,8)-2 G(3,5) G(4,6) G(1,2,7,8)-2 G(2,8) G(4,7) G(1,3,5,6)+2 G(2,7) G(4,8) G(1,3,5,6)+2 G(2,8) G(4,6) G(1,3,5,7)-2 G(2,6) G(4,8) G(1,3,5,7)-2 G(2,7) G(4,6) G(1,3,5,8)+2 G(2,6) G(4,7) G(1,3,5,8)+2 G(2,5) G(4,8) G(1,3,6,7)-2 G(2,5) G(4,7) G(1,3,6,8)+2 G(2,5) G(4,6) G(1,3,7,8)+2 G(2,8) G(3,7) G(1,4,5,6)-2 G(2,7) G(3,8) G(1,4,5,6)-2 G(2,8) G(3,6) G(1,4,5,7)+2 G(2,6) G(3,8) G(1,4,5,7)+2 G(2,7) G(3,6) G(1,4,5,8)-2 G(2,6) G(3,7) G(1,4,5,8)+2 G(2,8) G(3,5) G(1,4,6,7)-2 G(2,5) G(3,8) G(1,4,6,7)-2 G(2,7) G(3,5) G(1,4,6,8)+2 G(2,5) G(3,7) G(1,4,6,8)+2 G(2,6) G(3,5) G(1,4,7,8)-2 G(2,5) G(3,6) G(1,4,7,8)+2 G(1,8) G(4,7) G(2,3,5,6)-2 G(1,7) G(4,8) G(2,3,5,6)-G(1,4,7,8) G(2,3,5,6)-2 G(1,8) G(4,6) G(2,3,5,7)+2 G(1,6) G(4,8) G(2,3,5,7)+G(1,4,6,8) G(2,3,5,7)+2 G(1,7) G(4,6) G(2,3,5,8)-2 G(1,6) G(4,7) G(2,3,5,8)-G(1,4,6,7) G(2,3,5,8)-2 G(1,5) G(4,8) G(2,3,6,7)-G(1,4,5,8) G(2,3,6,7)+2 G(1,5) G(4,7) G(2,3,6,8)+G(1,4,5,7) G(2,3,6,8)-2 G(1,5) G(4,6) G(2,3,7,8)-G(1,4,5,6) G(2,3,7,8)-2 G(1,8) G(3,7) G(2,4,5,6)+2 G(1,7) G(3,8) G(2,4,5,6)+G(1,3,7,8) G(2,4,5,6)+2 G(1,8) G(3,6) G(2,4,5,7)-2 G(1,6) G(3,8) G(2,4,5,7)-G(1,3,6,8) G(2,4,5,7)-2 G(1,7) G(3,6) G(2,4,5,8)+2 G(1,6) G(3,7) G(2,4,5,8)+G(1,3,6,7) G(2,4,5,8)-2 G(1,8) G(3,5) G(2,4,6,7)+2 G(1,5) G(3,8) G(2,4,6,7)+G(1,3,5,8) G(2,4,6,7)+2 G(1,7) G(3,5) G(2,4,6,8)-2 G(1,5) G(3,7) G(2,4,6,8)-G(1,3,5,7) G(2,4,6,8)-2 G(1,6) G(3,5) G(2,4,7,8)+2 G(1,5) G(3,6) G(2,4,7,8)+G(1,3,5,6) G(2,4,7,8)+2 G(1,8) G(2,7) G(3,4,5,6)-2 G(1,7) G(2,8) G(3,4,5,6)-G(1,2,7,8) G(3,4,5,6)-2 G(1,8) G(2,6) G(3,4,5,7)+2 G(1,6) G(2,8) G(3,4,5,7)+G(1,2,6,8) G(3,4,5,7)+2 G(1,7) G(2,6) G(3,4,5,8)-2 G(1,6) G(2,7) G(3,4,5,8)-G(1,2,6,7) G(3,4,5,8)+2 G(1,8) G(2,5) G(3,4,6,7)-2 G(1,5) G(2,8) G(3,4,6,7)-G(1,2,5,8) G(3,4,6,7)-2 G(1,7) G(2,5) G(3,4,6,8)+2 G(1,5) G(2,7) G(3,4,6,8)+G(1,2,5,7) G(3,4,6,8)+2 G(1,6) G(2,5) G(3,4,7,8)-2 G(1,5) G(2,6) G(3,4,7,8)-G(1,2,5,6) G(3,4,7,8)+G(4,8) G(1,2,3,5,6,7)-G(4,7) G(1,2,3,5,6,8)+G(4,6) G(1,2,3,5,7,8)-G(3,8) G(1,2,4,5,6,7)+G(3,7) G(1,2,4,5,6,8)-G(3,6) G(1,2,4,5,7,8)+G(3,5) G(1,2,4,6,7,8)+G(2,8) G(1,3,4,5,6,7)-G(2,7) G(1,3,4,5,6,8)+G(2,6) G(1,3,4,5,7,8)-G(2,5) G(1,3,4,6,7,8)-G(1,8) G(2,3,4,5,6,7)+G(1,7) G(2,3,4,5,6,8)-G(1,6) G(2,3,4,5,7,8)+G(1,5) G(2,3,4,6,7,8)+G(1,2,3,4,5,6,7,8)$

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