Langevin-Gleichung - Stochastische Differentialgleichung. Was sind die Feinheiten?

$R(t)$ist eine Funktion der Zeit, die eine komplizierte Zeitabhängigkeit von Kräften aufgrund anderer Moleküle auf das untersuchte Molekül darstellt.

Da nur eine Korrelationsfunktion angenommen wird, gibt es keine einzige eindeutige Funktion$R(t)$vermutet; obwohl nicht alle, viele Funktionen geeignet wären. Sie können viele davon im Computer generieren, indem Sie die Cholesky-Zerlegung der Korrelationsmatrix oder diskrete Fourier-Transformationsmethoden (schneller) verwenden.

Die exakte Lösung Ihrer Gleichung kann geschrieben werden als

$$x(t) = x(0) + \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) - \frac{m}{6 \pi a \nu} \dot{x}(0) \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} F(\tau_2) \, .$$

$x(0)$Und$\dot{x}(0)$sind die Anfangsbedingungen. Dann können Sie alles, was Sie berechnen möchten, als einen Ausdruck schreiben, der davon abhängt$F(t)$und nehmen Sie seinen Durchschnitt über die Schwankungen von$F(t)$.

Zum Beispiel

$$\begin{align*} \langle x(t) \rangle = & \langle x(0) \rangle + \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle- \frac{m}{6 \pi a \nu} \langle \dot{x}(0) \rangle \, \text{e}^{-\frac{6\pi a\nu}{m}t} \\ & + \frac{1}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \langle F(\tau_2) \rangle \, .\end{align*}$$

Wenn Ihr Teilchen in Ruhe und am Ursprung beginnt,

$$\langle x(0) \rangle = 0 \, \qquad \langle \dot{x}(0) \rangle = 0 \, ,$$

und wenn es eine konstante Kraft erfährt,

$$\langle F(t) \rangle = F \, ,$$

dann findest du

$$\begin{align*}\langle x(t) \rangle & = \frac{F}{m}\int_0^t \text{d}\tau_1 \int_0^{\tau_1} \text{d}\tau_2 \text{e}^{\frac{6\pi a\nu}{m} \left(\tau_2-\tau_1\right)} \\ & = \frac{F}{m} \frac{m}{6 \pi a \mu} \left[ t + \frac{m}{6 \pi a \nu} \left( \text{e}^{-\frac{6 \pi a \nu}{m}t}-1\right) \right] \, .\end{align*}$$

Sie sehen, dass Sie die Statistiken von auswählen können$F(t)$frei. Dann, wenn Sie die Momente kennen$F(t)$, können Sie die Momente von berechnen$x(t)$. Es dreht sich alles um die Berechnung von Integralen. Typischerweise wählt man Gaußsche Statistik mit

$$\langle F(t) \rangle = 0 \, , \qquad \langle F(t_1) F(t_2) \rangle = D \, \delta(t_1-t_2) \, .$$

Wenn Sie darauf bestehen, dieses Problem numerisch zu lösen, müssen Sie die Zeit diskretisieren

$$t \in \left[0,\infty\right[ \rightarrow t \in \left\{t_i\right\}_{i = 1,..,N} \, .$$

Dann können Sie probieren$F(t)$nach Ihrer bevorzugten Wahrscheinlichkeitsverteilung

$$P\left[F(t_1),F(t_2),..,F(t_N)\right] \, .$$

Für jede Probe erhalten Sie eine diskretisierte Funktion,$F(t_i)$und Sie können (zum Beispiel) zu Finite-Differenzen-Ableitungen wechseln, um Ihre Differentialgleichung zu lösen. Dann mittelst du am Ende.

Das numerische Lösen ist ziemlich ähnlich wie Runge-Kutta-Methoden, außer dass$R(t)$wird nicht durch eine übliche Funktion dargestellt, sondern ist normalerweise eine Zahl, die von Pseudozufallsgeneratoren generiert wird, die von Ihrer Sprache bereitgestellt werden. Sie können zum Beispiel die Heun-Mittelpunktmethode verwenden. Angenommen, Sie sind im Zustand$x_0,v_0$zum Zeitpunkt$t_0$und Sie möchten Ihren Zustand finden$x_1, v_1$zum Zeitpunkt$t_1$. Sie finden zunächst eine Annäherung erster Ordnung:

$$\tilde{r} = r_0 + \Delta t v_0$$ $$\tilde{v} = v_0 - \frac{\Delta t}{m}( \xi v + \nabla U(r_0)) +R(t_0)$$ Wo $U$ist die potentielle Energie Ihres Systems so $-\nabla U$ist die Kraft aufgrund interner Wechselwirkungen und $\xi$ist der Reibungskoeffizient. Jetzt verwenden Sie diese Annäherung, um Ihren wirklichen nächsten Schritt als zu finden

$${r}_1 = r_0 + \Delta t \frac{1}{2}(v_0+\tilde{v})$$ $${v}_1 = v_0 - \frac{1}{2} \frac{\Delta t}{m}( \xi (v_0 +\tilde{v}) + (\nabla U(r_0)+\nabla U(\tilde{r}))) +R(t_0).$$ Dies ist meiner Meinung nach bis zur zweiten zeitlichen Ordnung genau. Es gibt auch solche erster Ordnung wie Euler-Maruyana. Wie Sie sehen können, unterscheidet es sich nicht sehr von üblichen deterministischen Integratoren.