Linse, die einen kollimierten Strahl in eine Scheibe aus irgendeinem Material fokussiert. Fokusverschiebung durch Materialbewegung?

Question

Linse, die einen kollimierten Strahl in eine Scheibe aus irgendeinem Material fokussiert. Fokusverschiebung durch Materialbewegung?

Linsen
Optik
Physik
Photonik
geometrische Optik

Der Zeiger

Ich stieß auf ein geometrisches Optikproblem, das das Beispiel einer Linse gab, die einen kollimierten Strahl in eine Scheibe aus einem Material mit Brechungsindex fokussierte $n$ . Es behauptete dann, wenn sich die Scheibe ein Stück auf das Objektiv zubewegt $t$ , während sichergestellt wird, dass der Fokus noch innerhalb des Materials bleibt, dann verschiebt sich der Fokus $nt$ innerhalb des Materials. Dies setzt die paraxiale Näherung voraus.

Es wird jedoch keine Erklärung geliefert, warum sich der Fokus verschiebt $nt$ , und es wird auch nicht erklärt, wie man zu diesem Ergebnis kommt.

Ich habe zuvor die folgende Gleichung für die Querverschiebung eines Strahls hergeleitet, wenn er durch Luft wandert und auf eine Platte aus irgendeinem Material trifft:

X = D Sünde (θ) [1 - \frac{\sqrt{1 - {Sünde}^{2} (θ)}}{\sqrt{N^{2} - {Sünde}^{2} (θ)}}],

$x = d \sin(\theta) \left[ 1 - \dfrac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sqrt{n^2 - \sin^2(\theta)}} \right],$

Wo $d$ ist die Materialstärke. Ich habe dies dann verwendet, um die nachfolgende Fokusverschiebung entlang der optischen Achse zu finden:

F_{2} - F_{1} = \frac{X}{Sünde (θ)}

$F_2 - F_1 = \dfrac{x}{\sin(\theta)}$

Mir scheint, dass dies die relevanten Ergebnisse sind, um die Fokusverschiebung für ein Problem wie dieses abzuleiten. Allerdings konnte ich sie bisher nicht zur Ableitung verwenden $nt$ .

Mein erster Gedanke war, dass ich es gebrauchen könnte $F_2 - F_1 = \dfrac{x}{\sin(\theta)}$ um dieses Problem zu lösen, aber selbst nach der paraxialen Annäherung scheint es mir nicht das gewünschte Ergebnis zu bringen (es sei denn, ich habe einen Fehler gemacht):

\begin{aligned} F_{2} - F_{1} & = \frac{X}{θ} \\ = \frac{D θ (1 - \frac{1}{N})}{θ} \\ = D (1 - \frac{1}{N}) \end{aligned}

$\begin{align} F_2 - F_1 &= \dfrac{x}{\theta} \\ &= \dfrac{d \theta \left( 1 - \frac{1}{n} \right)}{\theta} \\ &= d \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right) \end{align}$

Und dies scheint nicht zu berücksichtigen $t$ , die Verschiebung des Materials in Richtung Linse.

Meine Problemskizze sieht folgendermaßen aus:

Ich würde es sehr schätzen, wenn sich die Leute bitte die Zeit nehmen könnten, dies zu erklären.

S. McGrew

Vielleicht hilft das: en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law

Der Zeiger

@S.McGrew Wenn ich die Querverschiebung abgeleitet habe

x = d \sin (θ) [1 - \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (θ)}}{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} (θ)}}]

$x = d \sin(\theta) \left[ 1 - \dfrac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sqrt{n^2 - \sin^2(\theta)}} \right]$ , dann glaube ich nicht, dass es das Problem ist, das Snellsche Gesetz nicht zu kennen ...

S. McGrew

Eine einfache Möglichkeit, den Ort des Fokus abzuschätzen, besteht darin, das Snellsche Gesetz zu verwenden, um die beiden Strahlen mit dem extremsten Winkel zu verfolgen und zu sehen, wie sich ihr Kreuzungspunkt ändert, wenn die Oberfläche des Mediums verschoben wird.

lalala

Ist die paraxiale Annäherung nicht sin theta= tan theta= theta?

Der Zeiger

@lalala Das ist richtig.

Der Zeiger

@S.McGrew Aber wie unterscheidet sich das von der Ableitung der Querverschiebung? Insbesondere bin ich mir nicht sicher, wie wir die Verschiebung des Materials zum Objektiv hin einbauen

t

$t$ .

Benutzer224659

Es verwendet nur das Snellsche Gesetz und etwas einfache Geometrie. Der Strahl bewegt sich in 2 Phasen, die erste ist, bevor er auf die sphärische Oberfläche trifft. In dieser Phase hat der Strahl Winkel

θ_{1}

$\theta_1$ . Berechnen Sie die in dieser Phase zurückgelegte y-Distanz für einen Linsen-Kugelflächen-Abstand von

D

$D$ . Berechnen Sie nun die in der zweiten Phase zurückgelegte x-Strecke. In dieser Phase hat der Strahl Winkel

θ_{2}

$\theta_2$ . Einfach rechnen

θ_{2} = θ_{2} (D)

$\theta_2=\theta_2(D)$ unter Verwendung des Snell-Gesetzes. Berechnen Sie, wie viel x-Abstand

d = d (D)

$d=d(D)$ der Strahl bedeckt, bevor er auftrifft

y = 0

$y=0$ . Jetzt erhalten Sie eine Funktion

D_{t o t a l} (D) = D + d (D)

$D_{total}(D)=D+d(D)$ . Berechnung

D_{t o t a l} (D) - D_{t o t a l} (D + t)

$D_{total}(D)-D_{total}(D+t)$ .

Benutzer224659

Wie wäre es, wenn Sie diese Berechnungen durchführen und sie als Ergänzung zu Ihrer Frage posten und wir Ihnen helfen, wenn Sie nicht weiterkommen?

S. McGrew

@ThePointer, Ihre Zeichnung sieht so aus, als ob das Licht in den Rand der Scheibe eintritt (und nicht in die flache Seite der Scheibe), aber Ihre Worte sagen das nicht. Es macht einen Unterschied, weil der Rand einer Scheibe als Linse fungieren würde. Bitte klären Sie.

Antworten (1)

Linse, die einen kollimierten Strahl in eine Scheibe aus irgendeinem Material fokussiert. Fokusverschiebung durch Materialbewegung?

@S.McGrew Wenn ich die Querverschiebung abgeleitet habe $x = d \sin(\theta) \left[ 1 - \dfrac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sqrt{n^2 - \sin^2(\theta)}} \right]$ , dann glaube ich nicht, dass es das Problem ist, das Snellsche Gesetz nicht zu kennen ...
Eine einfache Möglichkeit, den Ort des Fokus abzuschätzen, besteht darin, das Snellsche Gesetz zu verwenden, um die beiden Strahlen mit dem extremsten Winkel zu verfolgen und zu sehen, wie sich ihr Kreuzungspunkt ändert, wenn die Oberfläche des Mediums verschoben wird.
Ist die paraxiale Annäherung nicht sin theta= tan theta= theta?
@S.McGrew Aber wie unterscheidet sich das von der Ableitung der Querverschiebung? Insbesondere bin ich mir nicht sicher, wie wir die Verschiebung des Materials zum Objektiv hin einbauen $t$ .
Es verwendet nur das Snellsche Gesetz und etwas einfache Geometrie. Der Strahl bewegt sich in 2 Phasen, die erste ist, bevor er auf die sphärische Oberfläche trifft. In dieser Phase hat der Strahl Winkel $\theta_1$ . Berechnen Sie die in dieser Phase zurückgelegte y-Distanz für einen Linsen-Kugelflächen-Abstand von $D$ . Berechnen Sie nun die in der zweiten Phase zurückgelegte x-Strecke. In dieser Phase hat der Strahl Winkel $\theta_2$ . Einfach rechnen $\theta_2=\theta_2(D)$ unter Verwendung des Snell-Gesetzes. Berechnen Sie, wie viel x-Abstand $d=d(D)$ der Strahl bedeckt, bevor er auftrifft $y=0$ . Jetzt erhalten Sie eine Funktion $D_{total}(D)=D+d(D)$ . Berechnung $D_{total}(D)-D_{total}(D+t)$ .
Wie wäre es, wenn Sie diese Berechnungen durchführen und sie als Ergänzung zu Ihrer Frage posten und wir Ihnen helfen, wenn Sie nicht weiterkommen?
@ThePointer, Ihre Zeichnung sieht so aus, als ob das Licht in den Rand der Scheibe eintritt (und nicht in die flache Seite der Scheibe), aber Ihre Worte sagen das nicht. Es macht einen Unterschied, weil der Rand einer Scheibe als Linse fungieren würde. Bitte klären Sie.

Abstammung · Answer 1

Erster Angriff : Die Antwort scheint unabhängig von Scheiben- und Linsengeometrie zu sein.

Betrachten Sie die folgende Abb. 1:

Hier verwenden wir anstelle einer Scheibe eine vertikale Indexhalbebene $\eta$ . $d$ Dorthin hätte sich der Strahl fokussiert, wenn es kein Material gegeben hätte. In Gegenwart von Material fokussiert der Strahl auf $d'$

Deutlich,

D^{'} = D \frac{T A N (ich)}{T A N (R)} \approx D η

$d'=d\frac{tan(i)}{tan(r)}\approx d\eta$ unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung.Daher

Δ D^{'} = Δ D η

$\Delta d'=\Delta d \eta$ für Verschiebungen entlang der optischen Achse. Wenn das Material durch verschoben wird

t

$t$ Richtung Objektiv dh

Δ d = t

$\Delta d=t$ , dann verschiebt sich der Fokus um

Δ d^{'} = η t

$\Delta d'=\eta t$

Solange Kleinwinkel ca. Beachten Sie, dass
1. das Ergebnis dasselbe ist, auch wenn das Material nicht vertikal war. Dies liegt daran, dass sich die Neigung nur ändern würde $i$ .
2. Eine Scheibe an jedem Einfallspunkt ist nur eine geneigte Tangentialebene

Zweiter Angriff : Linsengleichung

Für eine sphärische Linse von

Radius $R$
Brechungsindex $\eta$
Objekt Entfernung $u$
Bildabstand $v$
Fohlenlänge $f$

Folgendes gilt:

- \frac{1}{u} + \frac{η}{v} = \frac{1}{F} = \frac{η - 1}{R}

$-\frac{1}{u}+\frac{\eta}{v}=\frac{1}{f}=\frac{\eta-1}{R}$

unter

kleiner Winkel ca. &
Kartesische Konvention &
Die Linse erstreckt sich auf der rechten Seite unbegrenzt

Neuordnung

v = \frac{η F u}{F + u}

$v=\frac{\eta f u}{f+u}$

daher für $u'=u-t$ ,

v^{'} - v = \frac{η T}{(1 + \frac{u}{F}) (1 + \frac{u - T}{F})}

$v'-v=\frac{\eta t}{(1+\frac{u}{f})(1+\frac{u-t}{f})}$

Im Regime $t\ll u\ll f$ , zur ersten Bestellung $\Delta v=v'-v=\eta t$

Kannst du bitte zeigen, wie es dir ergangen ist $d'=d\frac{tan(i)}{tan(r)}$ ? Die hier verwendete Trigonometrie ist mir nicht klar.
@ThePointer $\tan i=\frac hd$ , $\tan r=\frac {h}{d'}$ , Wo $h$ ist die Höhe des Brechungspunktes von der Hauptachse

Linse, die einen kollimierten Strahl in eine Scheibe aus irgendeinem Material fokussiert. Fokusverschiebung durch Materialbewegung?

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