Lösen Sie die Schaltung des Hüllkurvendetektors auf

Ich arbeitete an einem kleinen Projekt und fragte mich, ob die Hüllkurvendetektorschaltung analytisch aufgelöst werden könnte. Lassen Sie mich erklären.

Die Schaltung ist die oben gezeigte, deren Werte ich kenne$C$,$R$Und$V(t)$das ist das Eingangssignal. Mein$V(t)$ist eine glatte Funktion und ich kenne alle ihre Ableitungen. Die Sache, die ich finden möchte, ist die Funktion der Zeit$V_d(t)$Dies ist der Spannungsabfall über der Diode unter der Annahme, dass die Shockley-Gleichung zu jedem Zeitpunkt wahr ist.

$$I(t) = I_s \Big(\exp \Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) - 1 \Big)$$

Eine andere Sache, von der ich annehme, ist, dass das Kirchhoff-Spannungsgesetz für alle gilt$t$. Ich habe eine ziemlich böse Differenzialgleichung erster Ordnung gefunden, die lautet:

$$\exp\Big(\frac{V_d(t)}{V_t}\Big) = \lg \Big[\frac{1}{I_s} \Big( \frac{V - V_t}{R} + C\frac{d}{dt} (V - V_d) \Big) + 1\Big]$$

Kann diese Schaltung gelöst werden? Hat das Ergebnis andere Einschränkungen als die oben genannten?

EDIT: Ich habe festgestellt, dass die Frage weniger Bedeutung hat, ohne das zu wissen$V_t$, in diesem Fall ist es:

$$V_t(t) = A(1 + m \cos (2 \pi f_1 t + \phi_1))cos(2\pi f_2 t+ \phi_2)$$