Logik erster Ordnung in die Mengenlehre?

Schritt 1

Nehmen Sie eine beliebige Struktur erster Ordnung$M$über jede Sprache$L$.

Dann$M$interpretiert schon Formeln um$L$, und wir können die Interpretation verwenden. Zum Beispiel:

$\forall x,y\ \exists z\ ( z \ne x \land P(x,f(y,z)))$

wird einfach:

$\forall x,y \in D\ \exists z \in D\ ( z \ne x \land P_M(x,f_M(y,z)))$

Wo$D$ist die Domäne von$M$Und$P_M,f_M$sind die Interpretationen von$P,f$In$M$.

Es ist trivial, die Funktionsanwendung und die geordneten Paare in reines ZFC zu übersetzen, aber ich werde es nicht tun, da es die Mühe nicht wert ist.

Schritt 2

Jetzt scheint es, dass Sie auch gerade Quantifizierer loswerden wollen.

Such dir irgendeine aus$1$-Parametersatz$φ$über ZFC.

Dann:$\def\none{\varnothing}$

$\forall x \in D\ ( φ(x) )$iff$\{ x : x \in D \land φ(x) \} = D$.

$\exists x \in D\ ( φ(x) )$iff$\{ x : x \in D \land φ(x) \} \ne \none$.

So können Sie Quantoren rekursiv loswerden, wenn Sie die Verwendung von Mengenkonstruktoren zulassen, die reines ZFC nicht hat.

Anmerkungen

Wenn Sie Set-Konstruktoren verbieten, dann "$\forall x,y \in D\ ( R_M(x,y) \to R_M(y,x) )$" kann nicht ohne Quantoren in einen Satz übersetzt werden, weil jede Übersetzung dies behaupten muss$R$ist symmetrisch, und ohne Quantifizierer geht das nicht. Beachten Sie, dass die Mengengleichheit selbst einen Quantifizierer enthält, der sich im Inneren versteckt, was entscheidend ist, damit die Gleichheit zwischen konstruierten Mengen quantifizierte Behauptungen erfassen kann.