Logische Frage nach einer logischen Wahrheit

Es ist ein Beispiel für eine "logische Wahrheit", und zwar ein Beispiel für eine allgemeingültige Formel der Prädikatenlogik, aber keine (aussagenlogische) Tautologie .

Wenn alle Objekte Cube sind , ist die Formel wahr.

Der knifflige Fall ist, wenn nicht alle Objekte Cube sind : In diesem Fall ist ∀yCube(y) False.

Aber wenn ∀yCube(y) False ist, haben wir einige Objekte a , so dass Cube(a) False ist.

Also ist Cube(a) →∀yCube(y) False → False, also True.

Sie verwechseln zwei verschiedene Logiksysteme. Die Satz- oder Aussagenlogik verwendet Variablen, um ganze Sätze darzustellen (daher der Name), und verbindet sie mit Operatoren wie Wenn-Dann. Wahrheitstabellen werden in der Satzlogik verwendet. Die (erste) Prädikatenlogik erweitert die Satzlogik um Objekt-Prädikaten-Konstruktionen (wie „x ist ein Würfel“) und Quantoren („es gibt ein x so dass“).

Wahrheitstabellen können in der Prädikatenlogik nicht verwendet werden. Um zu sehen, warum, betrachten Sie den Satz (x) x=x(für alle x ist x identisch mit x). Dieser Satz ist logisch wahr. Aber wenn Sie versuchten, es in Satzlogik darzustellen, würden Sie einfach erhalten p. Und pist logisch nicht wahr – eine Zeile seiner Wahrheitstabelle ist falsch.

(Außerdem sind logische Wahrheit, logische Notwendigkeit und Tautologie alle Synonyme. In der Satzlogik zeigt das Finden einer Zeile der Wahrheitstabelle, in der der Satz falsch ist, dass er logisch nicht wahr ist.)

In mehr oder weniger natürlichem Englisch entspricht Ihr Satz dem Folgenden: "Entweder etwas ist kein Würfel oder alles ist ein Würfel." Es wird wahrscheinlich leicht einzusehen sein, dass dies logisch wahr ist. (Die Antwort von Maura ALLEGRANZA gibt hier mehr Details.) Aber das ist noch kein formeller Beweis.

Hier ist ein formaler Beweis mit reductio ad absurdum:

WTS: (Ex)[Cx -> (y) Cy]

1. Assume for RAA: -(Ex)[Cx -> (y) Cy]
2. (x) -[Cx -> (y) Cy]
3. -[Ca -> (y) Cy]
4. Ca & -(y) Cy
5. Ca
6. -(y) Cy
7. (Ey) -Cy
8. -Cb
9. -[Cb -> (y) Cy]  (from 2)
10. Cb & -(y) Cy
11. Cb 
-><- (8, 11)

Hier ist ein Beweis mit der Fitch-Software (Entschuldigung, es wird P anstelle von Cube verwendet):