Logischer Fehler im Wahrscheinlichkeitsproblem über Postboten, die Briefe ausliefern, sodass jedes Haus einen falschen Brief bekommt

Question

Logischer Fehler im Wahrscheinlichkeitsproblem über Postboten, die Briefe ausliefern, sodass jedes Haus einen falschen Brief bekommt

Mathematik
Wahrscheinlichkeit
Permutationen
Kombinatorik
Inklusion Exklusion

Aritro Shome

Ein Postbote muss vier Briefe an vier verschiedene Häuser in einer Straße liefern. Leider hat der Regen die Adressen gelöscht, also verteilt er sie einfach wahllos, einen Buchstaben pro Haus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Haus den richtigen Buchstaben bekommt? (☆ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Haus einen falschen Buchstaben bekommt?)

Dies war ein Problem, über das ich beim Überarbeiten der Kombinatorik gestolpert bin. Für den ersten Teil ist es ziemlich einfach, wie zum Beispiel für vier Häuser $A, B, C$ Und $D$ , es gibt $4$ Briefe $L_A, L_B, L_C$ Und $L_D$ , und es gibt nur eine Kombination, damit der richtige Brief an das richtige Haus geliefert wird. Für die mit einem Sternchen versehene Frage lautet meine Logik jedoch wie folgt, aber die Antwort stimmt nicht mit dem überein, was auf der Website steht.

Meine Logik:

Lassen Sie die Häuser $A, B, C$ Und $D$ Seite an Seite in der gleichen Reihenfolge sein, wie sie im Alphabet erscheinen.

$A$ $B$ $C$ $D$

X_______________

X markiert den Standort des Postboten. Bei Haus $A$ , aus den vier Buchstaben $L_A, L_B, L_C$ , Und $L_D$ , es gibt nur drei Möglichkeiten wie das Haus $A$ bekommt den falschen Buchstaben. Für das Haus $B$ , zwei existieren und für Haus $C$ nur $1$ Möglichkeit, eine der verbleibenden $2$ Briefe. Das letzte Haus hat garantiert den falschen Brief erhalten, wenn die oben genannten Bedingungen zutreffen. Daher sind die Möglichkeiten $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Daher ist die Wahrscheinlichkeit $6 / 24 = 1 / 4 = 0.25$

Die Seite sagt jedoch (genau zitiert aus https://mathigon.org/world/Combinatorics#:~:text=To%20find%20the%20probability%20that,genannt%20the%20Inclusion%20Exclusion%20principle. )

Etwas schwieriger ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass jeder Brief an das falsche Haus geliefert wird. Es ist nicht einfach $1 – 0.0417$ , da es viele Fälle gibt, in denen ein oder zwei, aber nicht alle Häuser den richtigen Buchstaben bekommen. In diesem einfachen Fall wäre die einfachste Lösung, alle aufzuschreiben $24$ Möglichkeiten. Das findest du in $9$ aus dem $24$ Fällen bekommt jedes Haus einen falschen Buchstaben, was eine Wahrscheinlichkeit ergibt $0.375 = 37.5\%$ . Wenn es zu viele Häuser gibt, um alle Möglichkeiten aufzuschreiben, können Sie eine Idee namens Inklusions-Exklusions-Prinzip anwenden.

Kann jemand die Lücke in meiner Logik erklären, weil die Lösung auf der Website uns zu Bruteforce auffordert, was bei Prüfungen eine sehr verpönte Technik ist?

NF Taussig

Willkommen bei MathSE. Dieses Tutorial erklärt, wie man Mathematik auf dieser Seite setzt.

Aritro Shome

@NFTaußig danke! Ich habe nicht wirklich viel Zeit, um mich mit diesen Schriftsätzen zu beschäftigen, aber ich werde es auf jeden Fall vorerst versuchen

Antworten (2)

Logischer Fehler im Wahrscheinlichkeitsproblem über Postboten, die Briefe ausliefern, sodass jedes Haus einen falschen Brief bekommt

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@NFTaußig danke! Ich habe nicht wirklich viel Zeit, um mich mit diesen Schriftsätzen zu beschäftigen, aber ich werde es auf jeden Fall vorerst versuchen

fcz · Answer 1

Beachten Sie, dass er liefern kann $L_C$ zu Haus $A$ , $L_A$ zu Haus $B$ Und $L_B$ zu Haus $C$ . Also beim erreichen $D$ , es ist nicht garantiert, dass Haus $D$ erhält einen falschen Brief.

NF Taussig · Answer 2

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie der Postbote einen falschen Brief zu Hause zustellen kann $B$ hängt davon ab, was bereits passiert ist. Wenn er einen Brief zugestellt hat $L_B$ zu Haus $A$ , dann gibt es drei Möglichkeiten, einen falschen Brief zu Hause zuzustellen $B$ da es nicht mehr möglich ist, den richtigen Brief nach Hause zu liefern $B$ . Auf der anderen Seite, wenn Buchstabe $L_B$ wurde noch nicht nach Hause geliefert $A$ , dann gibt es nur zwei Möglichkeiten, einen falschen Brief zu Hause zuzustellen $B$ seit Brief $L_B$ ist noch verfügbar. Ebenso, wenn Brief $L_C$ wurde in beide Häuser geliefert $A$ oder Haus $B$ , dann gibt es zwei Möglichkeiten, einen falschen Brief zu Hause zuzustellen $C$ da es nicht mehr möglich ist, den richtigen Brief nach Hause zu liefern $C$ . Auf der anderen Seite, wenn Buchstabe $L_C$ wurde in keines der Häuser geliefert $A$ oder Haus $B$ , dann gibt es nur eine Möglichkeit, einen falschen Brief nach Hause zu liefern $C$ seit Brief $L_C$ ist noch verfügbar.

Nachtrag: Ich habe beschrieben, wie Ihre Methode zu einer Unterzählung führt. Was die ausgezeichnete Antwort von fcz zeigt, ist, dass Sie möglicherweise Arrangements zählen, die überhaupt keine Störungen sind.

Lösung: Es gibt $4!$ Möglichkeiten für den Postboten, vier verschiedene Briefe an vier verschiedene Häuser zu liefern. Um die Anzahl der Störungen zu finden, müssen wir diejenigen Permutationen ausschließen, bei denen mindestens ein Brief an das richtige Haus geliefert wird. Es gibt $\binom{4}{k}$ zur Auswahl $k$ Häuser, die den richtigen Buchstaben erhalten und $(4 - k)!$ den restlichen Häusern je einen Brief zuzustellen. Daher ist nach dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip die Anzahl der Möglichkeiten, wie der Postbote jeden Brief an ein anderes Haus liefern kann, so dass keine Person einen richtigen Brief erhält

\sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} (\binom{4}{k}) (4 - k)! = 4! - (\binom{4}{1}) 3! + (\binom{4}{2}) 2! - (\binom{4}{3}) 1! + (\binom{4}{4}) 0! = 9

$\sum_{k = 0}^{4} (-1)^k\binom{4}{k}(4 - k)! = 4! - \binom{4}{1}3! + \binom{4}{2}2! - \binom{4}{3}1! + \binom{4}{4}0! = 9$ Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Person einen richtigen Brief erhält, gegeben

\frac{1}{4!} \sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} (\binom{4}{k}) (4 - k)! = \frac{4! - (\binom{4}{1}) 3! + (\binom{4}{2}) 2! - (\binom{4}{3}) 1! + (\binom{4}{4}) 0!}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

$\frac{1}{4!} \sum_{k = 0}^{4} (-1)^k\binom{4}{k}(4 - k)! = \frac{4! - \binom{4}{1}3! + \binom{4}{2}2! - \binom{4}{3}1! + \binom{4}{4}0!}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ Im Allgemeinen ist die Anzahl der Störungen von

n

$n$ Objekte ist

\sum_{k = 0}^{N} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (N - k)!

$\sum_{k = 0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}(n - k)!$ Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Person den richtigen Brief erhält, groß

\frac{1}{N!} \sum_{k = 0}^{N} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (N - k)! = \sum_{k = 0}^{4} (- 1)^{k} \frac{1}{N!} \cdot \frac{N!}{k! (N - k)!} \cdot (N - k)! = \sum_{k = 0}^{N} \frac{(- 1)^{k}}{k!}

$\frac{1}{n!}\sum_{k = 0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k}(n - k)! = \sum_{k = 0}^{4} (-1)^k \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot (n - k)! = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ Für große Werte von

n

$n$ , das ist ungefähr

1 / e

$1/e$ . Siehe Störungen für weitere Informationen.

Aber was soll die Lösung dieser Frage sein? Für 4 Häuser ist das vorgeschlagene Bruteforcing machbar, aber für mehr Häuser > 10 kann es ziemlich umständlich werden
Ich habe eine vollständige Lösung für das Problem hinzugefügt.

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