Lokale Lorentz-Invarianz oder lokale Poincaré-Invarianz?

Yossarián

Lokale Lorentz-Invarianz oder lokale Poincaré-Invarianz?

Schnelle Frage.

Ich weiß, dass die Gruppe aller Isometrien in Minkowskis Raumzeit die Poincaré-Gruppe ist, die nur die Lorentz-Gruppe (Rotationen und Boosts) und Translationen in der Raumzeit ist.

Nun, in Texten zur allgemeinen Relativitätstheorie lese ich oft lokale Lorentz-Invarianz . Ich denke, dass in GR, da wir haben, dass lokal SR erfüllt ist, was hier wirklich gemeint ist, lokale Poincaré-Invarianz.

Ist diese Terminologie also Missbrauch oder handelt es sich wirklich um lokalen Lorentz? Und wenn es sich um Local Lorentz handelt, ist es die vollständige Lorentz-Gruppe, nur das richtige Orthochronous oder irgendetwas anderes?

Arnold Neumaier

Eine weitere gründliche Antwort finden Sie unter physicaloverflow.org/10794

QMechaniker

Für den GR-Fall siehe auch physical.stackexchange.com/q/175297/2451 und darin enthaltene Links.

Robin Ekmann

Hier besteht Verwirrungsgefahr, weil der Minkowski-Raum in gewisser Weise zu schön ist. Damit meine ich, dass im Umfeld des Minkowski-Raums aufgrund seiner einfachen Struktur Identifizierungen und Globalisierungen möglich sind, die in einer allgemeinen Raumzeit keinen Sinn ergeben.

In einer allgemeinen Raumzeit kann man an jedem Punkt den Tangentenvektorraum definieren. Er hat ungefähr eine Richtung für jede Richtung, in die Sie sich bewegen können. Dies bedeutet nicht, dass der Raum ein affiner Raum ist (ein affiner Raum ist wie ein Vektorraum ohne bevorzugten Ursprung), es könnte beispielsweise eine Kugel sein. Aber für den Minkowski-Raum ist die Raumzeit tatsächlich ein affiner Raum, und dies führt dazu, dass Sie den gesamten Raum mit dem Tangentialraum verwechseln.

Lassen Sie uns über Relativität sprechen. Ein Beobachter in der Raumzeit kann drei raumähnliche Kurven und eine zeitähnliche Kurve durch seine Zeit und Position finden. Das Prinzip der Lorentz-Invarianz ist, dass jede Wahl in Ordnung ist! Für den Weltraumteil bedeutet dies nur, dass Sie Ihr Labor drehen und die gleichen Ergebnisse erzielen können. Dass man Zeit und Raum mischen darf, kommt daher, dass die Lichtgeschwindigkeit für Beobachter in Relativbewegung gleich sein sollte.

Die lokale Lorentz-Invarianz bedeutet also wirklich, dass Sie Ihr Labor ohne veränderte Ergebnisse drehen können und Beobachter, die sich relativ dazu bewegen, dieselbe Physik sehen. Dies ist ein Ausdruck der Symmetrie im Tangentialraum.

Wählen Sie nun in der Minkowski-Raumzeit einen beliebigen Ursprung. Dann hat die Minkowski-Raumzeit dieselbe Struktur wie die (1+3)-Tangentenräume der allgemeinen Relativitätstheorie, sodass die lokale Lorentz-Invarianz global gemacht werden kann. Da der Ursprung beliebig war, hat man auch vier Translationssymmetrien. Dies ist die Poincare-Symmetrie.

Die lokale Lorentz-Invarianz ist eine Aussage darüber, wie unwichtig Ihre lokale Wahl der Zeit- und Raumachse ist. Die globale Lorentz- und Poincare-Invarianz ist eine viel stärkere Aussage über die Symmetrien der Raumzeit selbst. Insbesondere muss eine Raumzeit überhaupt keine Symmetrien haben (und es gibt viele bekannte Beispiele für Lösungen von Einsteins Gleichungen, die dies nicht tun).

Yossarián

Also, wenn ich es richtig verstanden habe, sagen Sie, dass es nur Lorentz (mit Parität und allem) ist, aber nicht Poincaré, oder?

Robin Ekmann

Nicht unbedingt mit Parität und Zeitinversion. Das Standardmodell hat Verletzungen von beidem (Aber CPT ist immer eine Symmetrie.)

Yossarián

Ich sehe, dass Poincaré-Trans nicht in Ordnung sind, weil sie Raumzeit-Übersetzungen beinhalten. ABER wenn wir einen DIFFERENTIAL-Poincaré-Trans betrachten würden, würde die Metrik nicht auch invariant bleiben (zumindest bis zur ersten Ordnung)? könnten wir also sagen, dass wir in GR eine lokale infinitesimale Poincaré-Symetrie haben?

Robin Ekmann

Eine infinitesimale Transformation, die die Metrik beibehält, wird Killing-Vektor genannt, und wenn Sie das integrieren, erhalten Sie eine Symmetrie der Raumzeit. Die Symmetrie muss keine Translation sein, es kann auch eine Rotation sein. Beispielsweise hat die Schwarschild-Metrik eine Translationssymmetrie in der Zeit und drei Rotationssymmetrien im Raum. Die Big Bang-Modelle haben jeweils drei. Wenn Sie drei Raum-Translationen und eine Zeit-Translation haben und sie pendeln, muss die Raumzeit tatsächlich flach sein, da Sie für jede Pendelsymmetrie eine Koordinate aus der Metrik eliminieren können.

Yossarián

du liegst absolut richtig

Muphrid

Die lokale Lorentz-Invarianz wird normalerweise herangezogen, wenn über einige Aspekte des Äquivalenzprinzips gesprochen wird: dass verschiedene Beobachter unterschiedlichen Trägheitsreferenzrahmen entsprechen. Inertialsysteme sind durch lokale Lorentz-Transformationen miteinander verbunden.

Außerdem ist die Metrik invariant unter einer lokalen Lorentz-Transformation. In Formulierungen der Schwerkraft mit Tetraden gehorchen die Rotationskoeffizienten einer Eichtransformation unter lokalen Lorentz-Transformationen, aber der Riemann-Tensor ist immer noch Lorentz-kovariant (daher heißt er schließlich Eichtransformation).

Diese Begriffe sind für die gesamte Poincare-Gruppe nicht wirklich sinnvoll, da sich Übersetzungen nicht auf den Begriff der Beobachter in verschiedenen Referenzrahmen beziehen. Ich glaube nicht, dass Wikipedia in diesem Punkt richtig ist.

Wikipedia sagt, dass die lokale Lorentz-Invarianz auf die Poincare-Gruppe verallgemeinert werden kann. Nach dem, was ich über die Schwerkraft unter Verwendung von Tetraden weiß, entspricht dies meiner Meinung nach dem Transformationsgesetz der Tetrade: dass sich die Tetrade bei einer Translation (oder einer allgemeinen Koordinatentransformation) auf eine bestimmte Weise transformieren muss, damit die inneren Produkte von Vektoren und Covektoren unveränderlich bleiben. Auch dies kann als Eichtransformation betrachtet werden. Tetraden transformieren sich auch unter lokalen Lorentz-Transformationen, sodass dieser Aspekt der Koordinatentransformation zusätzlich zu LLTs möglicherweise der vollständigen "lokalen Poincare-Kovarianz" entspricht, aber ich würde sicherheitshalber weiter nachforschen.

Yossarián

Mein Wissen über Tetraden ist ziemlich begrenzt, daher folge ich Ihrem letzten Absatz nicht wirklich, aber danke für die Antwort. Ich werde versuchen zu überprüfen, was Sie sagen

Heterotisch

Alle anderen Antworten sind sehr gründlich, ich wollte nur etwas körperliche Intuition hinzufügen:

Wenn Sie sich auf "lokal" beschränken, können Sie sich vorstellen, die Physik an einem einzigen Punkt in der Raumzeit zu studieren. Wir gehen davon aus, dass sich an diesem Punkt alle verschiedene Beobachter befinden, und das bedeutet, dass sie nur in Bezug zueinander verstärkt werden können. Daher die Bedeutung der lokalen Lorentz-Invarianz. Um die Invarianz unter Übersetzungen zu diskutieren, benötigen Sie zwei verschiedene Punkte, und wie dies funktioniert, wird in den anderen Antworten beschrieben ...