Manipulieren der Maximumfunktion, metrische Räume.

Question

Manipulieren der Maximumfunktion, metrische Räume.

Mathematik
metrische Räume
Realanalyse
Allgemeine Topologie
funktionsanalyse

Jeremy Jeffrey James

Ich versuche zu zeigen, dass die höchste Metrik, $d_{\infty}$ , ist in der Tat eine Metrik auf $\mathbb R^2$ . Ich habe gezeigt, dass die ersten beiden Eigenschaften eines metrischen Raums gelten, aber ich habe Probleme, die dritte zu zeigen, nämlich die für beliebige Punkte $A,B,C\in \mathbb R^2$ Dann,

D_{\infty} (A, B) \leq D_{\infty} (A, C) + D_{\infty} (C, B)

$d_\infty(A,B)\le d_\infty(A,C)+d_\infty(C,B)$

Folgendes habe ich bisher gemacht:

D_{\infty} (A, B) = max (| A_{1} - B_{1} |, | A_{2} - B_{2} |)

$d_\infty(A,B)=\max(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|)$

= max (| A_{1} + C_{1} - C_{1} - B_{1} |, | A_{2} + C_{2} - C_{2} - B_{2} |)

$=\max(|a_1+c_1-c_1-b_1|,|a_2+c_2-c_2-b_2|)$

\leq max (| A_{1} - C_{1} | + | C_{1} - B_{1} |, | A_{2} - C_{2} | + | C_{2} - B_{2} |)

$\le\max(|a_1-c_1|+|c_1-b_1|,|a_2-c_2|+|c_2-b_2|)$

Jetzt weiß ich, was ich bekommen sollte, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das manipulieren soll $\max$ Funktion, um es zu bekommen. Kann mich jemand durch den nächsten Schritt führen, um zu sehen, was mit dem zu tun ist $\max$ Funktion zu erhalten,

= max (| A_{1} - C_{1} |, | A_{2} - C_{2} |) + max (| C_{1} - B_{1} |, | C_{2} - B_{2} |)

$=\max(|a_1-c_1|,|a_2-c_2|)+\max(|c_1-b_1|,|c_2-b_2|)$

= D_{\infty} (A, C) + D_{\infty} (C, B)

$=d_\infty(A,C)+d_\infty(C,B)$

⟺ D_{\infty} (A, B) \leq D_{\infty} (A, C) + D_{\infty} (C, B)

$\iff d_\infty(A,B)\le d_\infty(A,C)+d_\infty(C,B)$

Daniel Fischer

Beginnen mit

| a_{1} - c_{1} | ⩽ | a_{1} - b_{1} | + | b_{1} - c_{1} |

$\lvert a_1 - c_1\rvert \leqslant \lvert a_1 - b_1\rvert + \lvert b_1 - c_1\rvert$ . Sehen Sie, dass die rechte Seite ist

⩽ d_{\infty} (A, B) + d_{\infty} (B, C)

$\leqslant d_\infty(A,B) + d_\infty(B,C)$ .

Antworten (1)

Manipulieren der Maximumfunktion, metrische Räume.

Beginnen mit $\lvert a_1 - c_1\rvert \leqslant \lvert a_1 - b_1\rvert + \lvert b_1 - c_1\rvert$ . Sehen Sie, dass die rechte Seite ist $\leqslant d_\infty(A,B) + d_\infty(B,C)$ .

triple_sec · Answer 1

Beachten Sie, dass

\begin{aligned} \underset{♣}{\underset{⏟}{| A_{1} - C_{1} | + | C_{1} - B_{1} |}} \leq & \underset{⋆}{\underset{⏟}{max {| A_{1} - C_{1} |, | A_{2} - C_{2} |} + max {| C_{1} - B_{1} |, | C_{2} - B_{2} |}}}, \\ \underset{♢}{\underset{⏟}{| A_{2} - C_{2} | + | C_{2} - B_{2} |}} \leq & \underset{⋆}{\underset{⏟}{max {| A_{1} - C_{1} |, | A_{2} - C_{2} |} + max {| C_{1} - B_{1} |, | C_{2} - B_{2} |}}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \underbrace{\color{red}{|a_1-c_1|}+\color{red}{|c_1-b_1|}}_{\clubsuit}\leq&\,\underbrace{\max\{\color{red}{|a_1-c_1|},|a_2-c_2|\}+\max\{\color{red}{|c_1-b_1|},|c_2-b_2|\}}_{\star},\\ \underbrace{\color{blue}{|a_2-c_2|}+\color{blue}{|c_2-b_2|}}_{\diamondsuit}\leq&\,\underbrace{\max\{|a_1-c_1|,\color{blue}{|a_2-c_2|}\}+\max\{|c_1-b_1|,\color{blue}{|c_2-b_2|}\}}_{\star}. \end{align*}$ Deshalb,

\begin{aligned} max {\underset{♣}{\underset{⏟}{| A_{1} - C_{1} | + | C_{1} - B_{1} |}}, \underset{♢}{\underset{⏟}{| A_{2} - C_{2} | + | C_{2} - B_{2} |}}} \\ \leq & \underset{⋆}{\underset{⏟}{max {| A_{1} - C_{1} |, | A_{2} - C_{2} |} + max {| C_{1} - B_{1} |, | C_{2} - B_{2} |}}} . \end{aligned}

$\begin{align*} &\,\max\{\underbrace{|a_1-c_1|+|c_1-b_1|}_{\clubsuit},\underbrace{|a_2-c_2|+|c_2-b_2|}_{\diamondsuit}\}\\ \leq&\,\underbrace{\max\{|a_1-c_1|,|a_2-c_2|\}+\max\{|c_1-b_1|,|c_2-b_2|\}}_{\star}. \end{align*}$

Manipulieren der Maximumfunktion, metrische Räume.

Jeremy Jeffrey James

Daniel Fischer

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