Matrix-Vektor-Produkt: Die Darstellung einer Matrix als Vektor von Vektoren führt scheinbar zu einem Paradoxon, wenn die Matrix transponiert wird

Ich nehme gerade an einem Universitätskurs über lineare Algebra teil. In einigen Beweisen eine gegebene Matrix$A \in \mathbb{R}^{m\times n}$soll sich als darstellen lassen$1\times n$Zeilenvektor von$m \times 1$Spaltenvektoren, dh:

$$A = [\vec{a_1}\quad\vec{a_2}\quad\dots\quad \vec{a_n}]$$

mit$\vec{a_i}$die i -te Spalte von$A$. Natürlich die Transponierung von$A$, wie es in den meisten solchen Beweisen verwendet wird, wäre dann durch an gegeben$n\times 1$Spaltenvektor von$1\times m$Zeilenvektoren:

$$A^T = [\vec{a_1^T}\quad\vec{a_2^T}\quad\dots\quad \vec{a_n^T}]^T$$ Bei der Durchführung einer Matrix-Vektor-Multiplikation des Formulars$A\vec x$, ich weiß, dass die Anzahl der Zeilen des Vektors mit der Anzahl der Spalten der Matrix übereinstimmen muss. (In diesem Fall,$\vec x$wäre ein$n \times 1$Spaltenvektor, und das Ergebnis wäre ein$[m \times n][n \times 1] = [m \times 1]$Spaltenvektor.)

Nun, beim Überlegen$A$Als Zeilenvektor wie in der ersten Gleichung können wir sehen, dass dies gilt, wie das Ergebnis wäre$[1 \times n][n \times 1] = [1 \times 1]$, obwohl eine Summe von skaliert enthalten ist$m \times 1$Spaltenvektoren, also nach dem Skalieren und Addieren, an$m \times 1$Spaltenvektor.

$$A\vec x = [\vec{a_1}\quad\vec{a_2}\quad\dots\quad \vec{a_n}][x_1\quad x_2 \quad\dots\quad x_n]^T = \vec{a_1}\cdot x_1 + \vec{a_2}\cdot x_2 + \dots + \vec{a_n}\cdot x_n \in \mathbb{R}^{m \times 1}$$ Mein Problem entsteht dann, wenn ich das gleiche Produkt in Betracht ziehe, aber tausche$A$mit$A^T$ (Bearbeiten: Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird dies nicht transponiert$Ax$, sondern Austausch$A$um zu sehen, was passiert.) , also$A^T\vec x$mit$\vec x$das gleiche$n \times 1$Spaltenvektor. Herkömmlicherweise wäre dies das Produkt von an$n \times m$Matrix mit einem$n \times 1$Vektor: unmöglich. Allerdings, wenn man bedenkt$A^T$als ein$n \times 1$Spaltenvektor wie in der zweiten Gleichung, scheint dies möglich zu werden, nämlich als Punkt zweier gleichdimensionaler Vektoren: $$A^T\boldsymbol{\cdot}\vec x = [\vec{a_1^T}\quad\vec{a_2^T}\quad\dots\quad \vec{a_n^T}]^T\boldsymbol{\cdot}[x_1\quad x_2 \quad\dots\quad x_n]^T = \vec{a_1^T}\cdot x_1 + \vec{a^T_2}\cdot x_2 + \dots + \vec{a^T_n}\cdot x_n \in \mathbb{R}^{1\times n}$$ Dies scheint mir ein Paradoxon zu sein, da es offensichtlich eine Diskrepanz zwischen den Dimensionen von gibt$\vec x$(dh$n$) und die Abmessungen des Eingaberaums von$A^T$(dh$m$), aber umschreiben$A^T$als Vektor, wie mit getan$A$, beseitigt diese Diskrepanz, wie es scheint. Ist es falsch anzunehmen, dass man diese Diskrepanz beseitigen kann? Ist es falsch, das Matrix-Vektor-Produkt einer Matrix in anzunehmen?$\mathbb{R}^{n\times 1}$mit einem Vektor in$\mathbb{R}^n$gleich dem Skalarprodukt zweier Vektoren in sein$\mathbb{R}^n$? Ist es falsch, eine Matrix als Vektor von Vektoren zu schreiben oder eine solche Konstruktion vielleicht zu transponieren?