Matrizen in Dirac-Notation

Das ist Diracs Formalismus. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung auf kontinuierliche Basis, dh solche, die durch einen Index aufgezählt werden, der Werte in einer kontinuierlichen Menge annimmt$\mathbb{R}^n$.

In dieser Einstellung haben Sie das genauso$|e_n\rangle$ist eine diskrete Basis, die es Ihnen ermöglicht, sich zu zerlegen

$$|\psi\rangle=\sum_{n}\langle e_n|\psi\rangle |e_n\rangle,$$

und bezüglich der die Abschlußrelation gilt

$$\sum_{n}|e_n\rangle\langle e_n|=\mathbf{1}$$

wir nehmen an, dass wir eine Basis haben können$|x\rangle$durch einen kontinuierlichen Parameter wie aufgezählt$x\in \mathbb{R}$, so dass wir zerlegen können

$$|\psi\rangle=\int \langle x|\psi\rangle |x\rangle dx$$

mit Abschlussbeziehung

$$\int|x\rangle \langle x|dx = \mathbf{1}.$$

Das Problem ist, dass ungefähr wenn$A$ein kompakter Operator ist, stellt der Spektralsatz sicher, dass Sie eine diskrete orthonormale Basis von Eigenvektoren haben$|a_n\rangle$so dass$A|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$(Ich gehe der Einfachheit halber von nicht entartet aus).

Wann$A$unbeschränkt ist, wie es im QM häufig vorkommt, fehlt eine solche Grundlage. Aber Sie nehmen an, dass die obige Art von verallgemeinerter Grundlage existiert. Also wenn$X$unbeschränkt ist, nehmen Sie an, dass für jeden Eigenwert$x\in \sigma(X)$das Spektrum von$X$es gibt ein Zustandsket$|x\rangle$mit$X|x\rangle = x|x\rangle$und eine Grundlage bilden.

Beachten Sie, dass immer, wenn Sie Positions- und Impulsoperatoren haben$X,P$Sie verlangen möchten$[X,P]=i\hbar$und es gibt einen Satz, der sicherstellt, dass mindestens einer von ihnen unbeschränkt ist, also wird das obige Ding dann benötigt.

Dies ist aufgrund der Postulate des QM wichtig. Observables sind hermitesche Operatoren. Die möglichen zu messenden Werte sind genau die Werte auf dem Spektrum, dh die "Eigenwerte" und die Zustände mit eindeutigem Wert der Größe sind die Eigenvektoren, der gemessene Wert ist dann der entsprechende Eigenwert.

Es wird dann postuliert, dass wenn$A$ist das Beobachtbare mit kontinuierlicher Basis$|a\rangle$dann$\rho(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, den Wert von zu finden$A$im Staat$|\psi\rangle$dazwischen sein$a$und$a+da$.

Das verbindet man dann mit der Wellenmechanik. Betrachten Sie ein Teilchen in einer Dimension. Wir haben das Beobachtbare$X$Position entspricht. Lassen$|S(t)\rangle$der Staat zu der Zeit sein$t$. Wie wir wissen, kann die Position jeden möglichen Wert annehmen$\sigma(X)=\mathbb{R}$. Lassen$x\in \mathbb{R}$, ist der entsprechende verallgemeinerte Eigenvektor$|x\rangle$. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dazwischen zu finden$x$und$x+dx$ist dann$\rho(x) = |\langle x|\psi\rangle|^2$.

Wenn wir uns also mit der Wellenmechanik in Verbindung setzen, sehen wir das$\Psi(x,t)=\langle x|S(t)\rangle$in der Tat.

Als letzte Bemerkung ist alles über verallgemeinerte Eigenvektoren und kontinuierliche Basis aus Diracs Formalismus äußerst nützlich und elegant, aber es ist nicht streng. In der strengen Funktionsanalyse gibt es keinen Eigenvektor für unbeschränkte Operatoren und diese Erweiterungen sind nicht definiert. Es gibt jedoch einen Workaround, der alles sinnvoll macht, der sogenannte Gel'fand-Triplet-Ansatz.

Eine einfache (aber eher nicht strenge) Art, darüber nachzudenken:

Ihr Hilbertplatz$\mathcal{H}$wird durch quadratintegrierbare Funktionen auf der reellen Geraden gebildet, also Elemente von$\mathcal{H}$sind durch Karten gegeben$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$so dass$\int_{-\infty}^{\infty} dx \,|\psi(x)|^2$ist endlich, zum Beispiel eine Gaußsche,$\psi(x) = e^{-x^2/2}$.

Jedes "ket" schreibst du auf$|\psi\rangle$stellt eine Karte dar$\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$.

Innere Produkte von zwei solchen Kets$|\psi\rangle, |\phi \rangle$wird einfach durch gegeben$\langle \psi| \phi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx\, \psi^*(x) \phi(x)$wo$\psi(x), \phi(x)$sind die Karten, die diesen Kets entsprechen.

Eine einfache Art, über die Position Eigenket nachzudenken$|f_y\rangle$ist nur, dass es die "Funktion" darstellt$f_{y}(x) = \delta(x-y).$Dies sind genau die „Eigenfunktionen“ des Stellenoperators$\hat{x} : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$was braucht$\psi(x) \rightarrow x\ \psi(x)$. Das ist$f_{y}(x)$sind die einzigen Funktionen, die die Eigenwertgleichung lösen$\hat{x} f_y(x) = \lambda f_y(x)$mit Eigenwert$\lambda = y$. Der Grund für die Anführungszeichen um das Wort Funktion und Eigenfunktion ist das$f_y(x)$sind nicht quadratintegrierbar, das heißt, sie sind nicht wirklich in$\mathcal{H}$.

Diese Begriffe präzise und rigoros zu machen, ist Gegenstand der Funktionsanalyse.

Die wichtige Sache, die man im Auge behalten muss (und die in Büchern nicht immer betont wird), ist die Wellenfunktion$\psi$ist eigentlich die Sammlung der Koeffizienten, die den Zustand des Systems auf einer bestimmten Basis darstellen.

Der Vektor$|S\rangle$ist ein vollständig abstraktes Element eines Vektorraums, das mittels eines Postulats den vollständigen Zustand des Systems darstellen soll. Nehmen wir an, Sie haben ein Observable$A$mit Eigenwerten$a$und entsprechende Eigenzustände$|a\rangle$,

$$A|a\rangle=a|a\rangle,$$ dann der Staat $|S\rangle$können in der Basis überspannt werden $\{|a\rangle\}$, $$|S\rangle=\sum_a\psi(a)|a\rangle.$$ Die Sammlung von Koeffizienten $\psi(a)$ist die dem Zustand zugeordnete Wellenfunktion $S$in der durch das Observable definierten Basis $A$. Wenn das beobachtbare $A$kontinuierliche Eigenwerte haben, dann wird die obige Summe durch ein Integral und die Sammlung ersetzt $\{\psi(a)\}$hat unendliche Elemente und ist eigentlich eine stetige Funktion der Variablen $a$.

Betrachten wir nun das konkrete Beispiel des Zustands des Systems in der durch Position definierten Basis. Wenn der Betreiber$\hat x$hat einen Eigenzustand$|x\rangle$mit Eigenwert$x'$, dann

$$\hat x|x\rangle=x'|x\rangle,$$ Da die Wellenfunktion dieses Zustandes gerade ist $\psi(x)$, kann die obige Gleichung geschrieben werden als $$x\psi(x)=x'\psi(x)\Rightarrow (x-x')\psi(x)=0.$$ Das sagt die letzte Gleichung $\psi(x)$nur dann ungleich Null ist $x=x'$, dh, $$\psi(x-x')=\delta(x-x').$$ Betrachten Sie nun das Skalarprodukt eines beliebigen Zustands $$|S\rangle=\int\psi(x)|x\rangle dx,$$ mit Ortseigenzustand $|x'\rangle$, $$\langle x'|S\rangle=\int\delta(x-x')\psi(x)dx=\psi(x').$$ Seit $x'$willkürlich ist, können wir das sagen $$\langle x|S\rangle=\psi(x),$$ das ist die Wellenfunktion in der Ortsdarstellung.