Matrizen mit Zeilen aus einem beliebigen Vektorraum (und Multiplikation mit Zahlenmatrizen)

Matrizen bestehen aus Elementen eines Feldes. Wenn wir jedoch eine Matrix haben$A\in M_{m,n}(F)$, ist es manchmal sinnvoll, jede Zeile als Vektor aus zu betrachten$F^n$, dh wir können die Matrix als betrachten

Manchmal kann es nützlich sein, dasselbe mit Vektoren aus einem beliebigen Vektorraum zu tun$V$über ein Feld$F$. Dh wir können Notation verwenden

Dies ist nur eine andere Notation für geordnet$n$-Tupel von Vektoren. Aber zumindest in gewisser Weise ähneln sie Matrizen. Zum Beispiel können wir eine solche Matrix mit multiplizieren$A\in M_{k,m}(F)$ von links zu bekommen

Wir können diese Matrizen auch addieren und mit einem Skalar multiplizieren. Mit diesen Definitionen gelten noch einige Eigenschaften der üblichen Multiplikation von Matrizen - für die erlaubten Produkte. Zum Beispiel Assoziativität$A(B\mathbf{C})=A(B\mathbf{C})$oder Distributivität - beides$(A+B)\mathbf{C}$Und$A(\mathbf{C}+\mathbf{D})$.

Auch einige Eigenschaften, die für den Rang gelten, gelten weiterhin für die Dimension des von den Zeilen erzeugten Vektorraums. (z.B. wenn$A$Invertierbar ist dann der "Rang" von$\mathbf B$Und$A\mathbf B$ist dasselbe. "Rang" von$A\mathbf B$wird von oben durch den Rang von begrenzt$A$und auch durch den "Rang" von$\mathbf B$.)

Wir können nicht von rechts multiplizieren, aber wir können immer noch rechts "kürzen" in dem Sinne, dass wenn Reihen von$\mathbf B$sind dann linear unabhängig$A\mathbf{B}=\mathbf{0}$impliziert$A=0$Und$A_1\mathbf{B}=A_2\mathbf{B}$impliziert$A_1=A_2$.

Diese Notation kann beispielsweise verwendet werden, um eine kompakte Notation für Übergangsmatrix zwischen zwei Basen durch Schreiben zu machen$\mathbf B_2=M\mathbf{B_1}$. (Und einige Beweise über Übergangsmatrizen könnten mit dieser Notation recht kompakt geschrieben werden. Ein weiterer möglicher Vorteil dieser Notation ist, dass wir viele Eigenschaften der üblichen Matrizenmultiplikation verwenden können, wenn wir darauf achten, nur "erlaubte" Multiplikationen durchzuführen - die nach einiger Zeit mit linearer Algebra verbracht werden und Matrizen fast automatisch verwendet werden.)

Frage. Gibt es einen Text, der diesen Formalismus verwendet, wo wir mit "nicht-numerischen" Matrizen multiplizieren können, deren Zeilen (oder Spalten) aus Vektoren aus einem beliebigen Vektorraum bestehen (nicht notwendig$n$-Tupel? Gibt es Situationen, in denen die Verwendung dieses Ansatzes Vorteile bringt?

Bemerkung 1. In gewissem Sinne können die obigen Überlegungen leicht umgangen werden. Wenn wir wie oben mit der Art von "Matrizen" arbeiten, können wir einfach den endlichdimensionalen Unterraum nehmen$S$die Zeilen aller Matrizen enthält, die wir im Moment benötigen. (Zum Beispiel alle Zeilen, die in einer "Matrix"-Identität erscheinen, die wir uns ansehen. Oder wenn$V$endlichdimensional ist, können wir einfach nehmen$S=V$.) Wenn wir eine Grundlage für festlegen$S$, dies induziert und Isomorphie zwischen$S$Und$F^n$, Wo$n=\dim(S)$und wir erhalten eine natürliche Karte$\mathbf{B} \mapsto B\in M_{m,n}$. Sobald wir eine Grundlage für festgelegt haben$S$, jedes Ergebnis bezüglich der Multiplikation von "Matrizen" ist jetzt nur noch die übliche Multiplikation - wir müssen nur alles durch diesen Isomorphismus übertragen. Trotzdem war ich neugierig, ob es manchmal nützlich sein könnte, die Notwendigkeit zu vermeiden, eine Basis zu fixieren und Dinge mit dem entsprechenden Isomorphismus zu übertragen.

Bemerkung 2. Matrix- Summierbarkeitsmethoden können als Multiplikation einer unendlichen Matrix (von Dimensionen "$\mathbb N\times\mathbb N$") durch eine Folge, die als unendlicher Vektor betrachtet wird. Obwohl in solchen "Matrizen" die Zeilen nicht endlich viele Koordinaten haben, ist dies anders, als ich es mir vorstelle, da ich hier mit Matrizen arbeite, die endlich viele Zeilen haben.