Mengenbeziehungen (symmetrische und transitive, aber nicht reflexive Beziehung)

Eine Menge kann nicht symmetrisch sein; eine Beziehung sein kann. (Übrigens, es ist möglich, dass eine Menge "transitiv" ist, aber das bedeutet nicht dasselbe wie eine transitive Relation : Eine transitive Menge ist eine Menge$x$so dass wenn$z \in y$Und$y \in x$, Dann$z \in x$.)

Eine Relation auf einer Menge muss nicht alle Mitglieder der Menge umfassen. Zum Beispiel die Relation on$\mathbb{N}$gegeben durch "ist ein Primteiler von" berührt sich nicht$1$überhaupt:$1$hat nichts damit zu tun und nichts hat damit zu tun. In deinem Beispiel$6$ist mit nichts verwandt$R$, und nichts ist verwandt mit$6$von$R$.

"Symmetrisch" bedeutet nur, dass wenn $a \sim b$, dann $b \sim a$. Beachten Sie, dass es uns nichts über Elemente von sagt$A$wir haben es noch nie gesehen: aus dem bloßen wissen, dass$4 \sim 5$, wir können Symmetrie nicht verwenden, um abzuleiten, dass irgendetwas damit zusammenhängt$6$. Ebenso Transitivität.

Def. : lassen$A,R$Sätze, wir definieren

$$\operatorname{dom}(R):=\{x| \exists y : (x,y) \in R\} \\ \operatorname{cod}(R):=\{x| \exists y :(y,x)\in R\} \\ \operatorname{field}(R):=\operatorname{dom}(R)\cup \operatorname{cod}(R) \\ R \text{ is reflexive in }A \text{ if } \,\forall x \in A:(x,x)\in R \\ R \text{ is symmetric in }A \text{ if } \,\forall x,y \in A:(x,y)\in R \to (y,x)\in R \\ R \text{ is transitive in }A \text{ if } \,\forall x,y,z\in A:(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \to (x,z)\in R \\ R \text{ is reflexive} \text{ if } \,R \text{ is reflexive in}\operatorname{field}(R) \\ R \text{ is symmetric} \text{ if } \,R \text{ is symmetric in}\operatorname{field}(R)\\ R \text{ is transitive } \text{if } \,R \text{ is transitive in}\operatorname{field}(R)$$

Jetzt haben wir$A:=\{4,5,6\}$Und$R:=\{(4,4),(5,5),(4,5),(5,4)\}$, Deshalb:

• $R$ist nicht reflexiv in$A$Weil$(6,6) \notin R$
• $R$ist symmetrisch in$A$
• $R$ist transitiv in$A$

([$R$ist symmetrisch in$A$ $\wedge$ $R$ist transitiv in$A$ $\to$ $R$ist reflexiv in$A$] ist im Allgemeinen falsch, und Sie haben ein Beispiel)

Aber:

• $\operatorname{dom}(R)= \operatorname{cod}(R)= \operatorname{field}(R)=\{4,5\}$
• $R$ist reflexiv (in$\operatorname{field}(R)$)
• $R$ist symmetrisch (in$\operatorname{field}(R)$)
• $R$ist transitiv (in$\operatorname{field}(R)$)

([$R$ist symmetrisch$\wedge$ $R$ist transitiv$\to$ $R$is reflexiv] ist wahr, aber die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, ein Beispiel$R^´:=\{(1,1),(0,1),(0,0)\}$)

Warum$R$ist symmetrisch und transitiv in$A$? Lassen Sie zum Beispiel sein$4,6 \in A$und das beweise ich$(4,6) \in R \to (6,4) \in R$Und$(4,6) \in R \wedge (6,4) \in R \to (4,4)$sind wahr, aber es ist vage symmetrisch und transitiv durch def von "$\to$" (siehe Bsp.1 , Bsp.2 ), ähnlich wie$(5,6)$,$(6,5)$...