Meta-pythagoräisches Tripel

Das ist viel einfacher, als es aussieht. Es stellt sich heraus, dass die Antwort "alle von ihnen" lautet. Eigentlich jede einzelne Zahl$n$größer als$2$erscheint als das Bein eines pythagoräischen Dreiecks. Wenn$n$keine Zweierpotenz ist, funktioniert der folgende Weg: Nehmen Sie zuerst an$n$ist ungerade. Dann

$$\left( n,\frac{n^2 - 1}{2}, \frac{n^2 + 1}{2}\right)\quad \text{or} \quad \left(\frac{n^2 - 1}{2}, n, \frac{n^2 + 1}{2}\right)$$ ist ein pythagoräisches Tripel. Wenn $n$ist sogar, sagen wir $n = 2^km$mit $m\geq 3$ungerade, dann nutze das obige weiter $m$, und skalieren Sie das pythagoreische Tripel, das Sie erhalten $2^k$.

Wenn$n > 2$ist eine Macht von$2$, verwenden$(3, 4, 5)$mit entsprechender Skalierung.

Es gibt ein primitives pythagoräisches Tripel mit Seite$A$gleich einer ungeraden Zahl$\ge3$. Wir können diese Primitive (oder die doppelten oder perfekten quadratischen Vielfachen davon) finden, indem wir die lösen$A$oder$B$Funktionen für$n$und eine endliche Suche nach$m$Werte (basierend auf$C$Werte in diesem Problem). Für$A=m^2-n^2$, wir lassen

$$n=\sqrt{m^2-A}\implies n=\sqrt{m^2-C}$$ und die Suche wird auf Werte von beschränkt$m$Wo

$$\lceil\sqrt{C+1}\space\rceil\le m\le \biggl\lceil\frac{C}{2}\biggr\rceil$$ Für alle$m$das ergibt eine positive ganze Zahl$n$, wir haben$(m,n)$für ein pythagoräisches Tripel.

Beispielsweise möchten wir Übereinstimmungen für die Hypotenuse von finden$27,36,45$.

$$\text{Our limits are }\lceil\sqrt{45+1}\space\rceil=7\le m\le \biggl\lceil\frac{45}{2}\biggr\rceil=23$$

Für die meisten Werte von$m$, wir finden$n\notin\mathbb{N}$aber wir finden drei Übereinstimmungen.

$$f(7,2)=(45,28,53)$$ $$f(9,6)=(45,108,117)$$ $$f(23,22)=(45,1012,1013)$$

Für$765$Und$1305$, es gibt$6$stimmt mit jedem überein, und es scheint, dass die Wahrscheinlichkeit, Übereinstimmungen zu haben, mit der Größe von zunimmt$C$.

Nehmen wir jetzt das Triple$(14,48,50)$Wo$C$ist gerade.

$$\text{For }B=2mn\quad n=\frac{B}{2m}\text{ where } \lceil\sqrt{B}\space\space\rceil\le m \le \frac{B}{2}$$

$$\text{for }B=C=50\quad \quad \lceil\sqrt{50}\space\space\rceil=8\le m \le \frac{50}{2}=25$$

$$\text{We find only }n=\frac{50}{2*25}=1\quad \quad f(25,1)=(624,50,626)$$

Alle pythagoräischen Tripel auf den ganzen Zahlen haben die folgende Form:

$a=2xy$

$b=x^2-y^2$

$c=x^2+y^2$

Beachten Sie, dass jede gerade Zahl eine sein kann$a$.

Jede ganze Zahl kann a sein$c$es sei denn, die höchste Potenz einer Primzahl, p, in ihrer Primfaktorzerlegung ist kongruent zu 3 (mod 4) und wird auf eine ungerade Potenz erhoben.

Ein beliebiger$b$wird funktionieren. Für ungerade b let$x=(b+1)/2)$Und$y=(b-1)/2$. Für sogar$b$, lassen$b=2k$. Das lassen$x=k+1$Und$y=k-1$.

Mithilfe dieser Regeln können Sie Nummern finden, die zu beiden Gruppen gehören.