Was ist der Mindestabstand zwischen einem Punkt auf der Kurve y=e^x und einem Punkt auf der Kurve y=ln(x)?
Was ich getan habe: Wenn die angegebenen Kurven Standardkurven wären, könnte ich die gemeinsame Normale finden und die Gleichung der Kurven und der gemeinsamen Normalen lösen, um den Schnittpunkt zu finden, und dann die Abstandsformel verwenden, um den Abstand zwischen ihnen zu finden. Aber da sie nicht Standard sind, konnte ich diese Methode nicht anwenden. Ich konnte erkennen, dass die angegebenen Funktionen zueinander invers und daher symmetrisch zur Linie y = x sind. Aber wie kann man diese Informationen verwenden, um das Problem zu lösen?
Betrachten Sie die orthogonale Projektion auf die Linie . Der Abstand zwischen orthogonalen Projektionen zweier Punkte überschreitet nicht den Abstand zwischen den Punkten selbst (aus demselben Grund, aus dem ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks nicht länger als seine Hypotenuse ist: Satz des Pythagoras). Wenn wir also den Abstand zwischen den Projektionen zweier Kurven ermitteln können, ist dies eine Untergrenze für den Abstand zwischen den Kurven selbst. Mit Glück und Voraussicht wird die untere Grenze scharf sein, dh es wird die tatsächliche Entfernung sein.
Also, was ist die Projektion von auf die Linie ? Es ist eine geschlossene Halblinie. Sein Endpunkt kommt von so dass ist minimal. Minimierung über , sehen wir, dass das Minimum bei ist . Der Punkt Projekte zu .
Durch Symmetrie ist die Projektion von auf die Linie ist eine geschlossene Halblinie mit Endpunkt .
Der Abstand zwischen Projektionen ist . Daher ist der Abstand zwischen Kurven mindestens . Dies ist die untere Grenze.
Und es ist scharf: der Abstand zwischen dem oben genannten Punkt und sein Gegenstück Ist .
Toni Piccolo
Rajath Radhakrishnan