Ich habe darüber nachgedacht, wie Quantenzustände für verschiedene Arten von Systemen dargestellt werden und wie die Menge an klassischer Information (Bits), die zur Darstellung eines Zustands erforderlich ist, von seiner Basis abhängt.
Nehmen wir zum Beispiel Wasserstoff. Sie können es in der Positionsbasis mit Dirac-Delta-Funktionen darstellen. Dies ist wahrscheinlich die am wenigsten effiziente Art, es zu speichern (für numerische Arbeiten). Oder Sie verwenden die exakten analytischen Funktionen selbst: Wasserstoff ist ein Produkt der Kugelflächenfunktion und einer abklingenden radialen Exponentialfunktion. Das Speichern dieser symbolischen Gleichungen ist wahrscheinlich die effizienteste Methode.
Für kleine Moleküle stellt die DFT die Wellenfunktion typischerweise als eine Kombination von Orbitalen vom Gaußschen oder Slater-Typ dar, und es ist eine bestimmte Anzahl dieser Orbitale erforderlich, um eine gewünschte numerische Genauigkeit zu erreichen (ich glaube, dass weniger Orbitale vom Slater-Typ unbedingt erforderlich sind, aber Orbitale vom Gaußschen Typ sind es in der Praxis verwendet, da sie recheneffizienter sind).
Verdammt, Sie könnten sogar eine beliebige Wellenfunktion als Liste von Koeffizienten in ihrer Taylor-Entwicklung speichern.
Mein Punkt ist: Es gibt eine Beziehung zwischen der Anzahl der Bits, die zur Darstellung eines Zustandsvektors benötigt werden, und der Genauigkeit der damit durchgeführten Berechnungen (z. B. Energieeigenwerte), und diese Zahl scheint stark zu variieren.
Also fragte ich mich natürlich, was ist die optimale Darstellung? Wie kann ich diesen Zustandsvektor mit möglichst wenigen Bits speichern? Gibt es einen Algorithmus, um dies zu bestimmen?
Seltsamerweise finde ich keine Literatur zu diesem Thema! Es scheint, als wäre dies eine sehr wichtige Frage für die praktische numerische Arbeit, aber es kommt nichts heraus (es scheint, als wäre jeder damit zufrieden, nur ebene Wellen und Gaußsche für alles zu verwenden). Vielleicht verwende ich einfach nur die falschen Suchbegriffe. Weiß jemand, ob daran schon gearbeitet wurde? Gibt es eine theoretische absolute Mindestanzahl von Bits, die erforderlich sind, um einen bestimmten Zustand darzustellen?
Obwohl ich mich mit den Wellenfunktionen von Teilchen nicht auskenne, kann ich vielleicht ein wenig Intuition dazu beitragen, wie Sie an diesen Prozess herangehen. Was Sie fragen, klingt sehr nach einer häufigen Frage in der Zahlentheorie und Informatik: Was ist die Kolmogorov- Komplexität eines bestimmten Datenstücks? Mit anderen Worten, was ist der effizienteste Weg, um einen Datensatz zu beschreiben, wobei die Effizienz als die relative Kleinheit der Beschreibung bezeichnet wird? Leider gibt es hier ein paar Paradoxien, es sei denn, Sie haben eine sehr konkrete Definition von "Definition". Ein gutes Beispiel wäre das Beerenparadoxon .
Lassen Sie mich zunächst schnell beantworten, was meiner Meinung nach ein Missverständnis Ihrer Frage sein wird: Ein reiner Quantenzustand hat keine Shannon-Entropie, in dem Sinne, dass er als bekannter Punkt im Spektrum einer Observablen behandelt werden kann: Sie können sich dieses Spektrum vorstellen als ein Alphabet von Symbolen und die Kenntnis des reinen Quantenzustands ist gleichbedeutend damit, zu wissen, welches Symbol wir haben. Eine klassische Mischung von Quantenzuständen, wie z. B. eine klassisch zufällige Verteilung verschiedener reiner Quantenzustände oder eine Mischung, die im Gedankenexperiment von Wigner's Friend entsteht , hat die Shannon-Entropie, die durch die von Neumann-Entropie gegeben ist (siehe Wiki-Seite mit diesem Namen) .
Aber ich denke, Sie suchen, wie Speleos Antwort besagt , einen Informationsgehalt, der durch die kürzestmögliche Beschreibung eines Quantenzustands in einer Zielsprache gegeben ist. Dies ist, wie Speleo feststellt, die Kolmogorov-Komplexität, und sie wird immer relativ zu einer bestimmten Sprache definiert . Für den letzten Teil meiner Antwort ist folgendes Ergebnis wichtig:
Satz: Gegeben sei eine beliebige Sprache , gibt es in dieser Sprache keinen endlichen Algorithmus, der die Kolmogorov-Komplexität berechnen kann einer allgemeinen Zeichenfolge in einem bestimmten Alphabet
Den einfachsten und gebräuchlichsten Beweis gibt es hier auf meiner Website . Es ist der einzige mir bekannte Unberechenbarkeitsbeweis, der nicht auf das Cantor-Slash-Argument zurückgreift.
Nun, die einzige Arbeit, die ich gesehen habe, die für Ihre Frage vage relevant ist, ist die hochinteressante Spekulation von Charles Bennett in
Später in diesem Artikel macht er die interessante Beobachtung, dass es keinen Algorithmus gibt, um die kürzeste Beschreibung einer chemischen Anordnung zu berechnen (die in einer Sprache gegeben werden kann, die die relativen räumlichen Beziehungen zwischen den Bestandteilen eines Moleküls kodiert), da die Kolmogorov-Komplexität nicht berechenbar ist , Zum Beispiel). Bennett und andere glauben, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik zumindest teilweise durch die grundlegende Reversibilität (ANMERKUNG, ich habe NICHT IRReversibilität gesagt!) der Physik auf mikroskopischer Ebene entsteht, wodurch eine Szilard-Engine gezwungen wird, ihre gesamte Geschichte im Mikrozustand zu kodieren der Umwelt (und kodieren damit die Vorgeschichte des Wärmespeichers in der Umwelt). Also muss man den "Wurf" arbeiten die überschüssige Entropie aus der unmittelbaren Hardware des Maxwell Daemon-Computers innerhalb einer Szilard-Engine, so dass wir ihn "neu initialisieren", bereit, mehr Geschichte zu codieren. Ich diskutiere diese Idee weiterin meiner Antwort hier .
Wenn also diese Idee – im Wesentlichen eine Wiederholung des Landauer-Prinzips – dem zweiten Hauptsatz zugrunde liegt, dann müssen wir wissen, wie die Natur ihre Zustände kodiert, um zu sagen, wie viel Information ein System bei einer bestimmten Temperatur „aufsaugen“ kann. Daher scheint die Kolmogorov-Komplexität für die theoretische Berechnung von Entropien von Substanzen wichtig zu sein.
Daher vermutet Bennett, dass die Unberechenbarkeit der Kolmogorov-Komplexität der Grund ist, warum theoretische Berechnungen von Entropien von Substanzen in der physikalischen Chemie notorisch unzuverlässig sind.
Eine durch und durch faszinierende Idee, die meiner Meinung nach definitiv ihren Wert hat, aber eindeutig weiter daran gearbeitet werden muss, insbesondere, um sie vollständig mathematisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch rigoros zu machen.
Selene Rouley
Selene Rouley