Minimierung der Lagrange-Wirkung eines unmöglichen Problems

Question

Minimierung der Lagrange-Wirkung eines unmöglichen Problems

Yati Sagade

Ich arbeite mich durch Structure and Interpretation of Classical Mechanics ( SICM ) und stecke bei einer Übung in Abschnitt 1.4 fest :

Übung 1.6. Aktion minimieren: Angenommen, wir versuchen, einen Pfad zu erhalten, indem wir eine Aktion für ein unmögliches Problem minimieren. Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben ein freies Teilchen und legen den Geschwindigkeiten sowie den Positionen Endpunktbedingungen auf, die nicht damit übereinstimmen, dass das Teilchen frei ist. Schützt sich der Formalismus vor solch einem unangenehmen Angriff? Vielleicht finden Sie es aufschlussreich, es zu programmieren und zu sehen, was passiert.

Obwohl ich vollkommen verstehe, was ich hier tun soll (sagen wir, verwenden Sie die Lagrange-Funktion für das freie Teilchen, aber eine Pfadfunktion, die (x(t), y(t), z(t)) = (sin, cos, Identität), zum Beispiel), kann ich keine Endpunktgeschwindigkeiten auferlegen .

Die Funktion, die ich minimiere, nimmt eine Reihe von Zwischenpunkten und verwendet Lagrange-Interpolation, um ein Polynom daran anzupassen. Im Fall des freien Teilchens sind die optimalen Parameter dann so, dass die angepasste Kurve ungefähr eine gerade Linie ist. Ich denke, ohne Endpunktgeschwindigkeiten aufzuerlegen, ist es nicht möglich, ein "inkonsistentes" Problem zu bekommen, da zwei beliebige Punkte im Konfigurationsraum durch eine Hyperebene verbunden werden können, die den Weg eines freien Teilchens darstellt.

PS: Ich bin Programmierer und würde dieses Buch gerne mit jemandem durcharbeiten, der sich in Physik besser auskennt.

Kyle Kanos

Minimierung folgt kleinen Störungen,

x (t) \to x + η

$x(t)\to x+\eta$ so dass

η (t_{1}) = η (t_{2}) = 0

$\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . Haben Sie gesehen, wie dies gemacht wurde, um die Euler-Legrange-Bewegungsgleichungen zu erhalten?

Yati Sagade

Ich habe noch nicht den Teil erreicht, wo das Buch Euler-Lagrange-Gleichungen erklärt; aber ja, ich habe skalierte Störungen verwendet

x (t) \to x + ϵ η

$x(t) \rightarrow x + \epsilon \eta$ , so dass die Minimierung der Aktion eine Null ergibt

ϵ

$\epsilon$ . Was ich nicht kann, ist, absurde Geschwindigkeiten bei t1 und t2 anzugeben, die mit der gewählten Lagrange-Funktion (in diesem Fall der für ein freies Teilchen) nicht übereinstimmen.

mmesser314

Vielleicht finden Sie die Vorlesungen von David Tong über die klassische Mechanik eine nützliche Ergänzung zu diesem Buch. damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html

Antworten (2)

Minimierung der Lagrange-Wirkung eines unmöglichen Problems

Minimierung folgt kleinen Störungen, $x(t)\to x+\eta$ so dass $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . Haben Sie gesehen, wie dies gemacht wurde, um die Euler-Legrange-Bewegungsgleichungen zu erhalten?
Ich habe noch nicht den Teil erreicht, wo das Buch Euler-Lagrange-Gleichungen erklärt; aber ja, ich habe skalierte Störungen verwendet $x(t) \rightarrow x + \epsilon \eta$ , so dass die Minimierung der Aktion eine Null ergibt $\epsilon$ . Was ich nicht kann, ist, absurde Geschwindigkeiten bei t1 und t2 anzugeben, die mit der gewählten Lagrange-Funktion (in diesem Fall der für ein freies Teilchen) nicht übereinstimmen.
Vielleicht finden Sie die Vorlesungen von David Tong über die klassische Mechanik eine nützliche Ergänzung zu diesem Buch. damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html

Peter Krawtschuk · Answer 1

Wenn Ihre Aktion nur von ersten Zeitableitungen abhängt, ist es nicht erforderlich, dass die Flugbahn eine zweite Zeitableitung hat - dh eine abrupte Geschwindigkeitsänderung an sich liefert keinen Beitrag zur Aktion. Mit anderen Worten, es gibt keine Strafe für die sofortige Änderung Ihrer Geschwindigkeit. Das bedeutet dann, dass Sie die Grenzwerte für Geschwindigkeiten ignorieren können – Sie können sie sowieso sofort ändern.

Für ein freies Teilchen ist es eine einfache Tatsache, dass die geradlinige Trajektorie zwischen den Endpunkten das absolute Minimum der Wirkung ist. Wenn Sie versuchen, die Grenzwerte für Geschwindigkeiten vorzuschreiben, dann wird die Trajektorie immer noch die gleiche sein – sie wird Ihre Vorschriften ignorieren, weil sie es kann. Es kann Ihre Koordinaten-Randbedingungen nicht ignorieren, da das sofortige Ändern der Koordinaten eine unendliche Geschwindigkeit erfordert und die Geschwindigkeit in die Aktion eingeht, sodass dafür eine enorme Strafe verhängt wird.

Nun, auf der mathematischeren Seite können Sie sagen, dass Sie das Minimierungsproblem in einer Klasse von Funktionen berücksichtigen. Sprich, reibungslose Funktionen. Dann kann sich die Geschwindigkeit nicht abrupt ändern. Aber es kann sich beliebig schnell ändern, und es wird in dieser Klasse von Funktionen kein Minimum geben, genauso wie es kein Minimum im offenen Intervall gibt $(0,1)$ .

QMechaniker · Answer 2

Peter Kravchuk hat bereits eine gute Antwort gegeben. Hier folgen wir dem Programmierhinweis in Übung 1.6, um das Problem zu verdeutlichen.

Wie würde man dieses Minimierungsproblem programmieren? Durch Diskretisierung . Also die Positionen ${\bf r}_n$ leben in diskreten Zeiten

T_{N} = N Δ T, Δ T := \frac{T}{N}, N \in {0, \dots, N} .

$t_n~=~n\Delta t,\qquad\Delta t ~:=~\frac{T}{N},\qquad n\in\{0,\ldots,N\}.$

Geschwindigkeiten werden diskretisiert als z. B.

v_{N} := \frac{R_{N} - R_{N - 1}}{Δ T} N \in {1, \dots, N} .

${\bf v}_n~:=~ \frac{{\bf r}_n-{\bf r}_{n-1}}{\Delta t}\qquad n\in\{1,\ldots,N\}.$

(Die Wirkung hängt nur von Ableitungen bis zur ersten Ordnung ab, also müssen wir keine Beschleunigung usw. berücksichtigen.)

Als nächstes werden die beiden Positionsrandbedingungen (BC) festgelegt ${\bf r}_0$ Und ${\bf r}_N$ . Die beiden Geschwindigkeits-BCs fixieren dann die Nachbarn ${\bf r}_1$ Und ${\bf r}_{N-1}$ . Wie würden die restlichen Positionen

R_{N}, N \in {2, \dots, N - 2},

${\bf r}_n,\qquad n\in\{2,\ldots,N-2\},$

begnügen, um die Aktion zu minimieren? Offensichtlich ist dieses diskretisierte Problem effektiv äquivalent zu einem Variationsproblem dazwischen $t_1$ Und $t_{N-1}$ mit Dirichlet BCs ${\bf r}_1$ Und ${\bf r}_{N-1}$ , wobei wir die beiden äußersten Punkte einfach ignorieren ${\bf r}_0$ Und ${\bf r}_N$ .

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Yati Sagade

Kyle Kanos

Yati Sagade

mmesser314

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Peter Krawtschuk

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