Müssen lineare Transformationen injektiv sein?

Ich habe mich kürzlich mit linearer Algebra beschäftigt und beginne mich zu fragen, ob eine Möglichkeit, festzustellen, ob eine Funktion eine lineare Transformation ist, darin besteht, ob sie injektiv ist, oder mit anderen Worten, den Wahrheitswert der Behauptung "wenn eine Funktion" zu testen eine lineare Transformation ist, dann ist sie injektiv."

Um klar zu sein, werde ich eine grobe Definition von linearen Transformationen angeben:

Eine lineare Transformation ist eine Funktion$f:X \to Y$Wo$X$Und$Y$sind Vektorräume, die folgendes erfüllen:

Für alle Vektoren$\hat{x},\hat{y} \in X,$ $f(\hat{x}+\hat{y})=f(\hat{x})+f(\hat{y})$

Für alle Skalare$c$,$f(c \cdot \hat{x})=c \cdot f(\hat{x})$

Eine Sache, die mir auffällt, ist, dass anscheinend alle Funktionen, die ich mir vorstellen kann und die diese Bedingungen nicht erfüllen, nicht injektiv sind.

Nicht injektiv:

$\bullet \, \sin(x+y)\neq \sin(x)+ \sin(y) \hspace{1cm} \sin(cx) \neq c \cdot \sin(x)$

$\bullet \, |x+y| \neq |x|+|y| \hspace{1cm} |cx| \neq c \cdot|x|$

Betrachten Sie nun die Funktionen, die die Definition erfüllen :

Injektiv:

$\bullet$Jede Linie, die durch den Ursprung geht:$\, f(x)=a \cdot x; \, a(x+y)=a \cdot x + a \cdot y$Und$a \cdot (cx) = c (a \cdot x)$

Ich nehme an, dass Injektivität oft bei linearen Transformationen hilft, aber ich würde mir vorstellen, dass dies keine Notwendigkeit ist. Zum Beispiel die Funktion$f(x)=x^3$ist injektiv aber sicher$(x+y)^3 \neq x^3 + y^3$

Anscheinend habe ich meine eigene Frage damit beantwortet, dass "lineare Transformationen nicht injektiv sein müssen", aber gibt es einen Beweis für die Vorstellung, dass "alle nicht-injektiven Funktionen keine linearen Transformationen sind?"