Multiplizieren von drei Fakultäten mit drei Binomen in polynomialer Identität

Anscheinend liegt ein Fehler in dem genannten Problem vor. Vielleicht möchten Sie es überprüfen, obwohl einige Zeit vergangen ist, seit es veröffentlicht wurde.

Die Polynome$Z_n$mit

$$\begin{align*} Z_n=\sum_{k=0}^n n^{\underline{k}}x^{n-k} \end{align*}$$ beginnen mit $$\begin{align*} Z_0&=0^{\underline{0}}x^0=1\\ Z_1&=1^{\underline{0}}x^1+1^{\underline{1}}x^0=x+1\\ Z_2&=2^{\underline{0}}x^2+2^{\underline{1}}x^1+2^{\underline{2}}x^0=x^2+2x+4 \end{align*}$$

Wir erhalten für$n=2$

$$\begin{align*} x^2&Z_{n-1}Z_{n-2}-2nxZ_nZ_{n-2}+Z_nZ_{n-1}\\ &=x^2Z_1Z_0-4xZ_2Z_0+Z_2Z_1\\ &=x^2(x+1)-4x(x^2+2x+4)+(x^2+2x+4)(x+1)\\ &=-2x^3-4x^2-10x+4\tag{2} \end{align*}$$

Andererseits

erhalten wir in (1) z$n=2$

$$\begin{align*} D_2&=\sum_{j=0}^{n-2}\sum_{i=0}^j(n-j)!(n-j-1)!(j-i)!\binom{n-2}{j}\binom{j}{i}\binom{2n+1-i-j}{j-i}x^{i+j}\\ &=\sum_{j=0}^{0}\sum_{i=0}^j(2-j)!(1-j)!(j-i)!\binom{0}{j}\binom{j}{i}\binom{5-i-j}{j-i}x^{i+j}\\ &=2!1!0!\binom{0}{0}\binom{0}{0}\binom{5}{0}x^0\\ &=2 \end{align*}$$ was nicht mit (2) übereinstimmt.