Multivariable Limit: Wie kann man beweisen, dass es existiert?

Question

Multivariable Limit: Wie kann man beweisen, dass es existiert?

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Kontinuität
Mathematik
Multivariable Infinitesimalrechnung

Miguel Ferreira

Ich habe vor kurzem mit Calculus II begonnen und kann nicht verstehen, wie ich beweisen kann, ob eine Grenze existiert oder nicht.

Haben $f(x,y) = \dfrac{x^2+y^2}{\ln(x^2+y^2)},$ Wenn $x^2+y^2<1$ Und $(x,y)\neq (0,0),$

Und $f(x,y) = 0$ Wenn $(x,y) = (0,0),$

Wie kann ich die Stetigkeit der Funktion am Ursprung untersuchen?

Das habe ich schon gemacht: 1) $\lim_{x\to 0} f(x,0)$ und 2) $\lim_{y\to 0} f(0,y)$ , und beide sind gleich.

Dann habe ich folgende Limits gelöst: $\lim_{x\to 0} f(x,mx)$ Und $\lim_{x\to 0} f(x,kx^2)$ , und ich denke, sie sind beide 0; reicht das aus, um die Stetigkeit der Funktion bei (x,y) = (0,0) zu beweisen?

Und noch etwas: Wie kann ich beweisen, ob die Grenze per Definition existiert?

Vielen Dank!

Antworten (2)

Multivariable Limit: Wie kann man beweisen, dass es existiert?

Jose Carlos Santos · Answer 1

Polarkoordinaten verwenden: if $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ , Dann

F (X, j) = \frac{R^{2}}{Protokoll (R^{2})} = \frac{R^{2}}{2 Protokoll R}

$f(x,y)=\frac{r^2}{\log(r^2)}=\frac{r^2}{2\log r}$ Und

lim_{R \to 0} \frac{R^{2}}{2 Protokoll R} = 0.

$\lim_{r\to0}\frac{r^2}{2\log r}=0.$ Deshalb,

lim_{(X, j) \to (0, 0)} F (X, j) = 0.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.$

Sorry für die lange Verzögerung, aber vielen Dank für die Antwort!

PierreCarre · Answer 2

In diesem Fall können Sie einfach Variablen ändern ... Einstellung $u=x^2+y^2$ , kann die Grenze berechnet werden als

lim_{u \to 0^{+}} \frac{u}{Protokoll u} = 0.

$\lim_{u\to 0^+} \frac{u}{\log u} = 0.$ In Bezug auf Ihre erste Frage reicht es nicht aus, Grenzen entlang gerader Linien und Parabeln zu berechnen, um zu zeigen, dass eine Grenze existiert. Auch kann man das für klein genug sehen

x^{2} + y^{2}

$x^2+y^2$ du hast das

| \log (x^{2} + y^{2}) | > 1

$|\log(x^2+y^2)|> 1$ und so

| \frac{X^{2} + j^{2}}{Protokoll (X^{2} + j^{2})} - 0 | \leq | X^{2} + j^{2} | \to 0

$\left|\frac{x^2+y^2}{\log(x^2+y^2)}-0\right|\leq \left|x^2+y^2 \right|\to 0$

Sorry für die lange Verzögerung! Danke für die Antwort!:)

Multivariable Limit: Wie kann man beweisen, dass es existiert?

Miguel Ferreira

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Jose Carlos Santos

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PierreCarre

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Grenzwert der multivariaren Funktion am Ursprung

Grenze lim(x,y)→(0,0)sin(x2−y2)x2−y2lim(x,y)→(0,0)sin⁡(x2−y2)x2−y2\lim\limits_{(x ,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

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