Neue Identitäten für verallgemeinerte Fibonacci-Zahlen?

In den letzten Monaten habe ich eine der Verallgemeinerungen der Fibonacci-Zahlen untersucht, die Generalized Fibonacci Numbers (GFNs) genannt werden.

Die GFNs sind genau wie die regulären Fibonacci-Zahlen, außer dass die Folgen von GFNs willkürliche Anfangswerte haben.

Die GFNs gehorchen der gleichen Art von Wiederholungsbeziehung wie die Fibonacci-Zahlen, nämlich: G N = G N − 1 + G N − 2 kann aber auch berechnet werden G N = A F N − 2 + B F N − 1 Wo G 1 = A Und G 2 + B sind die Anfangswerte.

Ich hoffe, dass mir jemand, der mit den GFNs vertraut ist, sagen kann, ob bestimmte Summen, die ich untersucht habe, bereits untersucht wurden oder nicht. Mir wurde gesagt, dass sie es getan haben, aber bisher habe ich keine Arbeiten gefunden, die sich mit diesen speziellen Summen befassen, und ich würde wirklich gerne sehen, was andere Autoren getan haben.

Meine Arbeit:

Was ich also untersucht habe, sind Summen und andere Identitäten, die mehr als eine GFN-Sequenz gleichzeitig beinhalten. Die Identitäten, die ich gesehen habe, haben sich jeweils nur mit einer GFN-Sequenz befasst, oder vielleicht mit den GFNs und den Fibonacci- und Lucas-Zahlen.

Wie Identität 13 auf Seite 113 von Fibonacci and Lucas Numbers with Applications by Thomas Koshy:

∑ ich = 1 N G 2 ich = G 2 N + 1 − A

Die Summen, die ich in Betracht ziehe, summieren sich durch mehrere GFN-Sequenzen. Zum Beispiel könnten Sie mit dem ersten Glied der Fibonacci-Folge beginnen, die geschrieben werden kann als G ( 1 , 1 ) 1 , Wo ( 1 , 1 ) Sind ( A , B ) , die ersten und zweiten Terme in der Folge. Fahren Sie dann mit dem zweiten Term der Sequenz fort G ( 1 , 2 ) , geschrieben als G ( 1 , 2 ) 2 . Jedes Mal erhöhen wir B um eins und N um eins in der Notation G ( A , B ) N .

Dies kann geschrieben werden als: ∑ ich = 0 N G ( 1 , 1 + ich ) ich + 1 = N F N + 2 + 1

Die allgemeine Form dieser Summe ist: ∑ ich = 0 N G ( A , B + ich ) ich + 1 = G ( A , B ) N + 3 + N F N + 2 − F N + 3 + 2 − B

Weiß jemand, ob so etwas schon untersucht wurde? Wenn ja, würde ich gerne die Zeitung(en) sehen, die sich mit dieser Art von Identitäten befasst haben.

Insgesamt habe ich ungefähr 10 Identitäten, die sich mit mehreren GFN-Sequenzen befassen, und ich würde gerne sagen können, dass es sich um neuartige Ergebnisse handelt!

Aber mir ist klar, dass ich mich in einem ausgetretenen Gebiet befinde, also wäre ich nicht überrascht, wenn dies bereits geschehen ist.

Es scheint, als würden Sie diese Sequenzen ernsthaft studieren. Kennen Sie in diesem Fall den Fibonacci Quarterly ? Dies ist eine riesige Liste von Artikeln zu Fibonacci-Themen; Sehr wahrscheinlich gibt es einige Artikel über Gibonacci-Folgen (wie Arthur Benjamin und Jennifer Quinn sie in Proofs that Really Count nennen ), und wenn Sie welche finden, können Sie sich durchklicken, um die Referenzen anzusehen; hoffentlich findest du so mehr.
Das bin ich! Ja, ich bin mit dem FQ vertraut, und Sie haben Recht, sie haben viele Artikel über Fibonacci-Verallgemeinerungen, und ich habe viele davon gelesen, aber bisher habe ich nichts wie das Thema meiner Frage gesehen. Es ist ein wenig knifflig, weil das FQ keine Suchfunktion hat, sondern nur die Artikel nach Themen aufgelistet sind. Ich habe also das Gefühl, dass es eine gute Möglichkeit gibt, dass ich etwas Hilfreiches verpasst haben könnte. Obwohl ich einige Professoren kontaktiert habe und ihnen gesagt wurde, dass sie denken, dass meine Ergebnisse neu sein könnten und dass ich eine Arbeit einreichen und sehen sollte.

Antworten (2)

Ihre Gibonacci-Zahlen können als lineare Kombinationen von Fibonacci-Zahlen geschrieben werden:

G 0 A , B = A − B , G 1 A , B = A G N + 2 A , B = G N + 1 A , B + G N A , B

Definieren Sie die erzeugende Funktion:

G A , B ( z ) = ∑ N ≥ 0 G N A , B z N

Aus der Wiederholung:

∑ N ≥ 0 G N + 2 A , B z N = ∑ N ≥ 0 G N + 1 A , B z N + ∑ N ≥ 0 G N A , B z N G A , B ( z ) − ( A − B ) − A z z 2 = G A , B ( z ) − ( A − B ) z + G A , B ( z ) G A , B ( z ) = B − A − B z 1 − z − z 2

Denken Sie an die erzeugenden Funktionen:

F ( z ) = ∑ N ≥ 0 F N z N = z 1 − z − z 2 F ( z ) − F 0 z = ∑ N ≥ 0 F N + 1 z N

Daher:

G A , B ( z ) = F ( z ) ( B − A ) z − A F ( z ) G N A , B = ( B − A ) F N + 1 − A F N

Aus der Erzeugungsfunktion (oder dem expliziten Ausdruck in Form von Fibonacci-Zahlen und ihren Identitäten) können alle möglichen lustigen Ausdrücke abgeleitet werden.

All dein G N 's sind von der Form

G N = C 1 ϕ N + C 2 ( − 1 / ϕ ) N
Der einzige Unterschied sind die Konstanten C 1 Und C 2 . Mit G 1 = A Und G 2 = B , können Sie lösen C 1 Und C 2 . Verwenden Sie diese Formel für alle Ihre Bedürfnisse.

Ja, das ist mir klar, ich habe nur gefragt, ob diese Art von Summen schon einmal untersucht wurden oder ob sie neu sind.
@FofX Sie wurden möglicherweise zuvor untersucht oder nicht, aber dies ist nicht interessant genug, damit die Leute es ansehen oder studieren können. Zum Beispiel hätte niemand auf der Welt hinzugefügt 433534534525 + 5242878954310 . Aber macht es das interessant?
Ich würde dir widersprechen. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie verstehen, was die Summen sind, obwohl ich es vielleicht in meinem Beitrag nicht deutlich genug gemacht habe.
Neue Identitäten für verallgemeinerte Fibonacci-Zahlen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v