Nicht-Null-Komponenten des Riemann-Tensors für die Schwarzschild-Metrik

Laut Mathematica und unter der Annahme, dass ich beim Eintippen der Metrik keine dummen Fehler gemacht habe, bekomme ich die Nicht-Null-Komponenten von$R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$sein:

{1, 2, 1, 2} -> (2 G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{1, 2, 2, 1} -> -((2 G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r))),
{1, 3, 1, 3} -> -((G M)/(c^2 r)),
{1, 3, 3, 1} -> (G M)/(c^2 r),
{1, 4, 1, 4} -> -((G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{1, 4, 4, 1} -> (G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{2, 1, 1, 2} -> (2 G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{2, 1, 2, 1} -> -((2 G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4)),
{2, 3, 2, 3} -> -((G M)/(c^2 r)),
{2, 3, 3, 2} -> (G M)/(c^2 r),
{2, 4, 2, 4} -> -((G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{2, 4, 4, 2} -> (G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{3, 1, 1, 3} -> (G M (2 G M - c^2 r))/(c^4 r^4),
{3, 1, 3, 1} -> (G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{3, 2, 2, 3} -> (G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{3, 2, 3, 2} -> (G M)/(r^2 (2 G M - c^2 r)),
{3, 4, 3, 4} -> (2 G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{3, 4, 4, 3} -> -((2 G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{4, 1, 1, 4} -> (G M (2 G M - c^2 r))/(c^4 r^4),
{4, 1, 4, 1} -> (G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{4, 2, 2, 4} -> (G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{4, 2, 4, 2} -> (G M)/(r^2 (2 G M - c^2 r)),
{4, 3, 3, 4} -> -((2 G M)/(c^2 r)),
{4, 3, 4, 3} -> (2 G M)/(c^2 r),

Die Antwort von @John Rennie ist richtig. Aber vielleicht noch ein Hinweis, wie man den Riemann eigentlich am effizientesten berechnen kann (von Hand oder mit Computeralgebra). Um es schnell zu berechnen, ist es zweckmäßig, zuerst zu berechnen$R_{abcd}$weil es die meisten Symmetrien hat:

• Skrew-Symmetrie$R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}=R_{badc}$
• Symmetrie austauschen$R_{abcd}=R_{cdab}$

Das bedeutet, dass man in vier Dimensionen nur 21 unabhängige Komponenten zu berechnen hat: Diese können in a geschrieben werden$6\times6$symmetrische Matrix in Bezug auf Tupel von antisymmetrischen Indexpaaren$\left\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\right\}$. Für die Schwarzschild-Metrik sieht diese Matrix so aus:

Es gibt also nur 6 nicht verschwindende, unabhängige Komponenten von$R_{abcd}$für die Schwarzschild-Metrik. Aus diesen kann man die verbleibenden abhängigen konstruieren.

Im Spezialfall der Schwarzschild-Metrik ergibt die Austauschsymmetrie keine neuen nicht verschwindenden Komponenten, da die Matrix der Tupel diagonal ist. Dies hinterlässt eine Skrew-Symmetrie für die sechs Diagonalkomponenten, was zu drei neuen nicht verschwindenden Komponenten pro Diagonalkomponente führt. Also insgesamt$6\times4=24$nichtverschwindende Komponenten von$R^{a}{}_{bcd}$.

Zu erreichen$R^{a}{}_{bcd}$Man muss den ersten Index mit der inversen Metrik erhöhen, die im vorliegenden Fall nur multipliziert wird$R_{abcd}$mit$g^{aa}=1/g_{aa}$, seit$g_{ab}$ist symmetrisch.

John Rennie gab diesen 24 nicht verschwindenden Bestandteilen von$R^{a}{}_{bcd}$.

Ein letzter Kommentar zu diesen 21 unabhängigen Komponenten in vier Dimensionen: Wenn man die erste Bianchi-Identität betrachtet, kommt man auf 20 unabhängige Komponenten in vier Dimensionen für$R_{abcd}$. Es gibt also noch etwas zu rechnen, aber 21 oder 20 ist besser als 256.

Die Nicht-Null-Komponenten des Riemann-Tensors der Schwarzschild-Metrik sind:

$$\begin{array}{lcl} \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, r \, t \, r }^{ \, t \phantom{\, r} \phantom{\, t} \phantom{\, r} } & = & \frac{2 \, {G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, r \, r \, t }^{ \, t \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, t} } & = & -\frac{2 \, {G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\theta} \, t \, {\theta} }^{ \, t \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\theta} \, {\theta} \, t }^{ \, t \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\phi} \, t \, {\phi} }^{ \, t \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\phi} \, {\phi} \, t }^{ \, t \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, t \, t \, r }^{ \, r \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, r} } & = & \frac{2 \, {\left({G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}\right)}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, t \, r \, t }^{ \, r \phantom{\, t} \phantom{\, r} \phantom{\, t} } & = & -\frac{2 \, {\left({G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}\right)}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\theta} \, r \, {\theta} }^{ \, r \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\theta} \, {\theta} \, r }^{ \, r \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\phi} \, r \, {\phi} }^{ \, r \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\phi} \, {\phi} \, r }^{ \, r \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} } & = & \frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, t \, t \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, t \, {\theta} \, t }^{ \, {\theta} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, r \, r \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, r \, {\theta} \, r }^{ \, {\theta} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, {\phi} \, {\theta} \, {\phi} }^{ \, {\theta} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} } & = & \frac{2 \, {G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, {\phi} \, {\phi} \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{2 \, {G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, t \, t \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, t \, {\phi} \, t }^{ \, {\phi} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, r \, r \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, r \, {\phi} \, r }^{ \, {\phi} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, {\theta} \, {\theta} \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{2 \, {G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, {\theta} \, {\phi} \, {\theta} }^{ \, {\phi} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} } & = & \frac{2 \, {G} m}{c^{2} r} \end{array}$$