Nichtlineare Dynamik vs. Chaos

Ich verwechsle zwischen nichtlinearer Dynamik und Chaos. Chaos ist auch eine nichtlineare Dynamik, richtig? Was ist dann der Unterschied zwischen Chaos und nichtlinearer Dynamik ?

Was ich über Chaos verstanden habe, ist, dass es einige Fehler oder kleine Abweichungen sind, die sich in Raumzeit wiederholen und mit der Zeit verstärken. Auch dies hängt von der Ausgangssituation ab. Dies ist auch eine Nichtlinearität, oder?

Es gibt einige seltene interessante Beispiele für chaotische Bewegung, die selbst dann, wenn Sie die Anfangsbedingungen genau kennen; Sie werden ihre Zukunft nicht genau vorhersagen können. Zum Beispiel ein Partikel, das oben auf der Kurve ruht j = − X 4 3 , kann die Spitze jederzeit ohne thermische Störungen verlassen.

Antworten (3)

Nicht alle nichtlinearen Systeme sind chaotisch. Ein chaotisches System ist jedoch notwendigerweise nichtlinear. Es gibt keine Definition für Chaos, sondern die von Strogatz, Ref. 1:

Chaos ist aperiodisches Langzeitverhalten in einem deterministischen System, das eine sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen aufweist.

Wie im Text erklärt:

  • aperiodisches Langzeitverhalten = das System pendelt sich nie in eine stabile Konfiguration ein.

  • deterministisch = Sie schließen die Möglichkeit aus, dass die unregelmäßige Bewegung auf Rauschen oder zufällige Eingaben zurückzuführen ist, dh Sie möchten, dass sie auf die Nichtlinearität des Systems zurückzuführen ist.

  • sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen = selbst wenn Sie mit zwei sehr nahe beieinander liegenden Anfangsbedingungen beginnen, wird das Ergebnis von beiden enorm unterschiedlich sein. Dh man kann nicht sagen, was mit anderen (nahen) Punkten passiert, wenn man weiß, wie sich ein Punkt verhält.

Ein schönes Beispiel ist die Doppelstange, siehe Wiki :

Doppelstabpendel

Doppelstabpendel-Animation, die chaotisches Verhalten zeigt. Das Starten des Pendels von einem etwas anderen Anfangszustand würde zu einer völlig anderen Flugbahn führen. Das Doppelstabpendel ist eines der einfachsten dynamischen Systeme mit chaotischen Lösungen.

Ein lineares System hingegen ist ein System, bei dem, wenn Sie den Input z. B. verdoppeln, der Output auch doppelt so groß ist. In einem nichtlinearen System kann sich die Änderung der Eingabe jedoch völlig von der Änderung der Ausgabe unterscheiden.

Ich muss jedoch eine Einschränkung hinzufügen: Laut Wikipedia ist Chaos in linearen Systemen möglich , wenn das System unendlich dimensional ist .

Zur Klarstellung: Chaos ist kein anderes Wort für Instabilität. Nehmen Sie zum Beispiel das System

X ˙ = D X D T = X .
Die Lösung für dieses System ist eine Exponentialfunktion X = X ( 0 ) e T , was impliziert, dass benachbarte Trajektorien sich exponentiell voneinander trennen. Aber das ist kein Chaos! Dies liegt daran, dass wir wissen , was schließlich passieren wird: dh die Trajektorien werden ins Unendliche abgestoßen und werden niemals zurückkehren. Hier ist der Fixpunkt des Systems unendlich!

Chaos ist jedoch von Natur aus unvorhersehbar und aperiodisch, es schließt Fixpunkte und periodische Lösungen aus.

Verweise:

  1. Nichtlineare Dynamik und Chaos von Steven H. Strogatz
In Bezug auf die Qualifikation "empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen": dx / dt = x hat sicherlich eine "empfindliche Abhängigkeit", da jede Differenz exponentiell vergrößert wird, aber sie ist linear. Was unterscheidet das also von, sagen wir, den Lorenz-Gleichungen?
@metacompactness: Aus welchem ​​Buch hast du diese Definition entnommen?
@AnneO'Nyme Kapitel 8 dieses Buches .
@Venge: Ich habe eine Antwort auf Ihre Frage hinzugefügt.
@AnneO'Nyme Ich gebe Ihnen eine kostenlose herunterladbare Version, wenn Sie möchten.
@AnneO'Nyme nette Antwort, +1. Ihr letztes Beispiel eines einfachen linearen Systems, das a priori als chaotisch missverstanden werden könnte, hat mir sehr gut gefallen. Kennen Sie andererseits ein schönes Beispiel, das verdeutlicht, warum Chaos nicht unbedingt gleichbedeutend mit Zufall ist?
Ich würde hinzufügen, dass ein autonomes System (functions F k hängt nicht explizit von der Zeit ab T ) sollte mindestens durch drei Gleichungen erster Ordnung ( X ˙ k = F k ( X 1 , X 2 , … , X N ) , Wo k = 1 , 2 , … , N ) um chaotisch zu sein. Ein autonomes System, beschrieben durch zwei Gleichungen erster Ordnung, kann keine chaotische Dynamik aufweisen. Ein System, das durch drei Gleichungen beschrieben wird, wird manchmal als System mit "eineinhalb" Freiheitsgraden bezeichnet.

Erläuterungen und Ergänzungen:

Es stimmt, dass nicht alle nichtlinearen Systeme chaotisch sind, aber dass alle chaotischen Systeme nichtlinear (oder unendlichdimensional linear) sind. Die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen ist ein wichtiger Punkt, und der Kommentator wirft eine gute Frage auf.

Betrachten Sie das Lorenz-System in einem nicht chaotischen Parameterregime (oder in diesem Fall jedes stabile oszillierende System): Wenn die Zeit zu extrem großen Zahlen führt, können wir sicher sein, dass wir am Ende irgendwo auf einer festen Flugbahn liegen werden, unabhängig davon die Anfangsbedingungen (vorausgesetzt, wir haben irgendwo im Anziehungsbecken für den Attraktor begonnen). Das ist also eine große Einschränkung, wo wir landen werden.

Betrachten Sie nun das Lorenz-System in einem chaotischen Parameterregime, den seltsamen Attraktor. Was die Situation als solche definiert, ist die Tatsache, dass wir nicht auf die gleiche Weise einschränken können, wo wir enden werden; In einem chaotischen System gibt es keine endgültig festgelegte Flugbahn.

Die Ergänzung hier und eine mathematisch direktere Art, das zu sagen, was ich gerade gesagt habe, ist, dass ein chaotisches System mindestens einen positiven Lyapunov-Exponenten hat. Für jedes dynamische System kann man für jede Dimension des Systems einen Lyapunov-Exponenten berechnen; das Lorenz-System hat zum Beispiel drei für ein gegebenes Parameterregime. Der Wikipedia-Artikel definiert es gut, daher werde ich die Definition nicht weiter ausführen: Ein Lyapunov-Exponent definiert die Divergenz- (oder Konvergenz-) Rate der Trajektorien eines Systems in seinem Phasenraum. Sie können sich also vorstellen, dass diese Trajektorien für einen stabilen Attraktor unendlich enger zusammenrücken würden, wenn die Zeit ins Unendliche geht. Dies wäre dann ein negativer Lyapunov-Exponent.

Lyapunov-Exponenten können nur numerisch berechnet werden, aber je mehr Zeit Sie haben, desto sicherer können Sie sich ihrer Werte sein. Da ein chaotisches System niemals zu einer stabilen Trajektorie im Phasenraum konvergiert, ist mindestens ein Lyapunov-Exponent positiv. Schließlich können sie nicht alle positiv sein, da dies ein System wäre, das mit der Zeit ins Unendliche geht und daher keinerlei Attraktor hat.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_exponent

Wie Sie kommentiert haben, gibt es eine kleine, aber sehr wichtige Auslassung. Die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen ist unendlich groß. Oder besser gesagt, zwei Vektoren aus dem Zustandsraum, die die Anfangsbedingungen modellieren, würden, egal wie nahe sie sind, schließlich voneinander abweichende Trajektorien aufweisen.

Nichtlineare Dynamik vs. Chaos
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