Normalisierung von Mehrteilchenwellenfunktionen

Nein, die Normalisierungsbedingung ist immer gleich. Es muss so sein, wie Durchschnittswerte von Observablen definiert werden:

$$\langle A\rangle|_\Psi:=\frac{\langle\Psi|A|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\Psi\rangle}.$$ Zustände werden als normalisiert angenommen, um den Nenner zu vermeiden. Es ist nur eine bequeme Wahl, und es gibt keinen Grund, sie zu ändern. Wenn Sie sich auf die Wellenfunktion beziehen $\Psi(q_1,...q_N)$für ein System von $N$identische Teilchen (Bosonen oder Fermionen), nehmen Sie eine normalisierte Wellenfunktion.

Ihre Verwirrung bei identischen Teilchen kann durch ein explizites Beispiel behoben werden, das in praktischen Anwendungen sehr häufig vorkommt. Angenommen, wir haben$N$Wellenfunktionen$\psi_i$die als Eingabe nur eine Koordinate (oder einen Satz von drei Koordinaten in 3D) verwenden, und wir möchten einen Satz von beschreiben$N$Fermionen, indem man ihnen jeweils eine Wellenfunktion zuordnet. Wir nehmen jede der Wellenfunktionen als unterschiedliche Wellenfunktionen, die einen unterschiedlichen Zustand darstellen (dies ist der allgemeinste Fall, da wir es mit Fermionen zu tun haben), und legen Orthonormalitätsbeziehungen auf$\langle \psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$.

Nach dieser Präambel wollen wir eine Wellenfunktion für die bauen$N$Fermionen. Wir beginnen mit einer vorläufigen Wellenfunktion wie

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\psi_1(q_1)...\psi_N(q_N).$$ Diese Wellenfunktion hat aufgrund der Orthonormalität der Einheitsnorm $\psi_i$, ist aber bezüglich des Austauschs von Fermionenkoordinaten nicht antisymmetrisch $q_i\leftrightarrow q_j$. Es wird interpretiert als „das erste Fermion befindet sich in dem von beschriebenen Zustand $\psi_1$, die zweite in dem von beschriebenen Zustand $\psi_2$et cetera", also wird eindeutig zwischen Partikeln unterschieden.

Um dieses Problem zu lösen, antisymmetrisieren wir die Wellenfunktion als

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{P}(-1)^{P}\psi_{P(1)}(q_1)...\psi_{P(N)}(q_N).$$ Diese Notation bedeutet „Summe über alle Permutationen“. $P$der Saite $1...N$, wobei die Koordinaten fest bleiben und die Wellenfunktionsindizes verschoben werden, und ein Zeichen eingefügt wird $-$für ungerade Permutationen" (man kann es auch umgekehrt machen). Nun, hier haben Sie eine $\sqrt{N!}$wie derjenige, der dich stört. Dies ist genau das, was benötigt wird, um die gesamte Wellenfunktion zu normalisieren. Warum?

Nun, wenn Sie das Integral von durchführen$\Psi^*\Psi$, es ist eigentlich eine Summe von Produkten von Einzelteilchenintegralen der Form$\int\psi_i^*(q)\psi_j(q)dq$, und die Orthonormalitätsbedingung stellt sicher, dass Sie dieselben Wellenfunktionen unter dem Integral haben müssen, damit das Integral Null ist$(i=j)$. Im Modul von$\Psi$Die einzigen überlebenden Beiträge sind dann die Integrale, bei denen eine Permutation von$(1...N)$im BH wird genau durch die gleiche Permutation im Ket abgestimmt. Jeder dieser Begriffe gibt$1$, wegen Orthonormalität. Nun, wie viele Permutationen einer Zeichenfolge von$(1...N)$kannst Du machen? Genau die$N!$die benötigt wird, um den Nenner zu kürzen.

Bei der (Anti-)Symmetrisierung von Wellenfunktionen eines Systems identischer Teilchen hat man die Zustandsvektoren darauf beschränkt, in einem Unterraum des ursprünglichen Hilbert-Raums zu leben, und somit werden die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen unterschiedlich. Ihre Frage betrifft tatsächlich beide Beziehungen.

Zunächst sei daran erinnert, dass in der QM zwei Zustandsvektoren, die zueinander proportional sind (zwei Vektoren stimmen überein), als äquivalent bezeichnet werden und nur einer von ihnen zur Vollständigkeitsrelation beiträgt. Wenn man in einem Vielteilchensystem zwei Teilchen "permutiert", entspricht der neue Zustandsvektor dem ursprünglichen. Folglich hat man

$$\sum_{q_1,q_2,\cdots,q_N}\frac{\prod_{q_j}n_{q_j}!}{N!}\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N\right| = 1.$$ Hier,$N$ist die Gesamtzahl der Teilchen und$n_{q_i}$die Besetzungszahl des Einteilchenzustands$q_i$. Dieser Koeffizient eliminiert die "Überzählung" von äquivalenten Zuständen: da es sie gibt$N$Teilchen, es gibt$N!$Permutationen von ihnen und somit teilt man es durch$N!$beim Summieren. Im Falle eines bosonischen Systems jedoch, falls vorhanden$n_{q_i}$Teilchen besetzen Zustand$q_i$dann hat man$n_{q_i}!$gleiche Zustände (statt äquivalent), was bedeutet, dass die Anzahl der äquivalenten Zustände reduziert wird auf$\dfrac{N!}{n_{q_i}!}$usw. Im kontinuierlichen Fall zum Beispiel$q_i=x_i$, $$\int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}\left|x_1,x_2,\cdots,x_N\right\rangle\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N\right| = 1.$$ Hier$n_{q_i}!=1$seit einer Stelle$x_i$kann nur 0 oder 1 Partikel aufnehmen. Kombiniert man diese Relation mit der Normalisierungsrelation erhält man Ihre Formel: $$1=\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2.$$ Somit,$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für$N$Teilchen in Zuständen sein$q_1$,$q_2$usw. Andererseits kann der Vielteilchen-Zustandsvektor in Form von Einzelteilchenzuständen geschrieben werden als $$\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_in_{q_i}!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|q_{P1}\right\rangle\otimes\left|q_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|q_{PN}\right\rangle .$$ Seine Koordinatendarstellung ist $$\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \sqrt{N!}\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N).$$ Beachte das$\left|r_1,r_2,\cdots,r_N\right\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|r_{P1}\right\rangle\otimes\left|r_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|r_{PN}\right\rangle$Und$\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)$ist die aus Lehrbüchern bekannte Vielteilchen-Wellenfunktion, die auf 1 normiert ist. In diesem Fall gilt$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die Teilchen 1 im Zustand hat$q_1$, Teilchen 2 im Zustand$q_2$usw. Seine physikalische Bedeutung unterscheidet sich von der vorherigen.

Wenden Sie diese allgemeinen Ausdrücke auf Ihr Zwei-Teilchen-Beispiel an, Sie werden es klarer sehen.

Für eine detaillierte Herleitung einiger dieser Formeln siehe Statistische Mechanik: Eine Reihe von Vorlesungen - Feynmen (Kapitel 6, Abschnitt 6.7). Um einen kurzen Einblick in den Unterschied zwischen zu bekommen$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$Und$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$, siehe Grundlagen der Quantenmechanik - Shankar (Kapitel 10).