Numerische Ableitung einer Matrix in Abhängigkeit von einer Rotationsmatrix

Question

Numerische Ableitung einer Matrix in Abhängigkeit von einer Rotationsmatrix

Infinitesimalrechnung
Matrizen
Drehungen
Derivate
Mathematik
Multivariable Infinitesimalrechnung

Desmond13

Ich möchte eine Matrix ableiten $A$ wrt eine Rotationsmatrix numerisch.

Die Rotationsmatrix, von der ich spreche, ist $R_i \in SO(3)$ und es kommt von einer Auswahl von Euler-Winkelsequenzen $(1,2,3)$ . Die beteiligten Winkel sind die sogenannten Roll-Nick-Gier-Winkel $\phi_i,\theta_i,\psi_i$ (oder Kardanwinkel oder Tait-Bryan-Winkel).

Deshalb:

$R_i(\phi_i,\theta_i,\psi_i)=R_i=R_x(\phi_i)R_y(\theta_i)R_z(\psi_i) \;\;\;\;\;\;(1)$

Wenn ich die Matrix ableiten müsste $A$ numerisch bzgl. eines Skalars $\alpha$ Ich würde tun:

$\frac{A(\alpha)-A(\alpha+\delta)}{\delta}\;\;\;\;\;\;(2)$

Stattdessen dachte ich in meinem Fall daran, da ich eine Rotationsmatrix schreiben kann $R(\omega,\beta)=exp(\hat{\omega}\beta)$ (Wo $\hat{\omega}$ die dem Vektor zugeordnete schiefsymmetrische Matrix ist $\omega \in \mathbb{R}^3$ ):

$\frac{A(R_i)-A(R_i\cdot exp(e_i\delta))}{\delta}\;\;\;\;\;\; \forall i \in\{1,2,3\}\;\;\;\;\;\;(3)$

mit $e_1= \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) \;\; , e_2= \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) , e_3= \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right)$

Ich bin mir nicht sicher $(3)$ richtig ist und ich bin mir nicht sicher, ob sein Nenner richtig ist.

Könnten Sie mir bitte helfen?

Vielen Dank.

Antworten (2)

Numerische Ableitung einer Matrix in Abhängigkeit von einer Rotationsmatrix

John Alexiou · Answer 1

Wenn Sie eine Folge von Drehungen um die lokalen Achsen haben $\mathbf{z}_1$ , $\mathbf{z}_2$ Und $\mathbf{z}_3$ mit Winkeln $q_1$ , $q_2$ Und $q_3$ dann hast du folgende eigenschaften

\begin{aligned} R & = R Ö T (z_{1}, Q_{1}) R Ö T (z_{2}, Q_{2}) R Ö T (z_{3}, Q_{3}) \\ \dot{R} & = [ω \times] R \\ ω & = z_{1} {\dot{Q}}_{1} + R Ö T (z_{1}, Q_{1}) (z_{2} {\dot{Q}}_{2} + R Ö T (z_{2}, Q_{2}) z_{3} {\dot{Q}}_{3}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathtt{R} &= \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_1,q_1)\mathrm{Rot}(\mathbf{z}_2,q_2) \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_3,q_3) \\ \dot{\mathtt{R}} & = [\boldsymbol{\omega} \times] \mathtt{R} \\ \boldsymbol{\omega} & = \mathbf{z}_1 \dot{q}_1 + \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_1,q_1) \left( \mathbf{z}_2 \dot{q}_2 + \mathrm{Rot}(\mathbf{z}_2,q_2) \mathbf{z}_3 \dot{q}_3 \right) \end{align}$

_{Beachten Sie das $[\omega \times]$ Notation ist die 3x3 antisymmetrische Kreuzproduktoperatormatrix.}

[(\begin{matrix} X \\ j \\ z \end{matrix}) \times] = [\begin{matrix} 0 & - z & j \\ z & 0 & - X \\ - j & X & 0 \end{matrix}]

$[ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \times ] = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y& x & 0 \end{bmatrix}$

Sie können das Obige leicht mit zwei Drehungen beweisen, wenn Sie die Regeln zur Unterscheidung von Vektoren akzeptieren, die auf rotierenden Rahmen reiten: (suchen Sie die Ableitung des rotierenden Rahmens). Das Erweitern auf drei Rotationen ist mühsamer, folgt aber der gleichen Logik.

\dot{R} = {\dot{R}}_{1} R_{2} R_{3} + R_{1} {\dot{R}}_{2} R_{3} + R_{1} R_{2} {\dot{R}}_{3}

$\dot{\mathtt{R}} = \dot{\rm R}_1 {\rm R}_2 {\rm R}_3 +{\rm R}_1 \dot{\rm R}_2 {\rm R}_3+{\rm R}_1 {\rm R}_2 \dot{\rm R}_3$

Hallo, danke für die Antwort, die interessant ist, aber es ist nicht das, wonach ich gesucht habe. Hier habe ich ausdrücklich nach einer numerischen Methode gefragt, um eine Ableitung einer Matrix zu erstellen, die eine Funktion einer Rotationsmatrix ist, die sich von dem unterscheidet, was Sie vorschlagen. Sie geben mir eine Möglichkeit, die analytische Ableitung einer Rotationsmatrix zu berechnen.
Ich kann nur für analytische Methoden sprechen (dafür habe ich trainiert), also entschuldige ich mich, wenn diese Antwort für Sie nicht hilfreich war. Ich hoffe, Sie bekommen, wonach Sie fragen.

Lynn · Answer 2

Der gesuchte Gradient ist ein Tensor 4. Ordnung $,\,{\mathcal F},\,$ was befriedigt

\begin{aligned} D A_{ich J} & = F_{ich J k l} D R_{k l} \end{aligned}

$\eqalign{ dA_{ij} &= {\mathcal F}_{ijkl}\,dR_{kl} \cr\cr }$ Seit

d R

$dR$ hat 9 unabhängige Elemente, du wirst zur Berechnung 9 numerische Ableitungen benötigen

\begin{aligned} \frac{A (R + H E_{k l}) - A (R)}{H} \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{A(R+hE_{kl})-A(R)}{h} }$ Wo

E_{k l}

$E_{kl}$ ist die Matrix, die die hat

(k, l)

$(k,l)$ Element gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null. Der

h

$h$ Der Parameter sollte gewählt werden, um den Rundungsfehler gegen die Genauigkeit auszugleichen. Für IEEE ist es doppelte Genauigkeit

10^{- 8}

$10^{-8}$

Aktualisieren

Hier ist eine explizite Version der vorgeschlagenen Technik

\begin{aligned} F_{ich J k l} & = \frac{A_{ich J} (R + H E_{k l}) - A_{ich J} (R)}{H} \end{aligned}

$\eqalign{ {\mathcal F}_{ijkl} &= \frac{A_{ij}(R+hE_{kl})-A_{ij}(R)}{h} }$

Hallo, vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich muss es ein bisschen besser verstehen. Was ist $dR_{kl}$ für dich? und wie kann man das definieren $\mathcal{F_{ijkl}}$ ? vielen Dank für Ihre Zeit
@minidiable Ich habe meine Antwort mit expliziter Indexnotation aktualisiert.

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