Numerische Simulation der stochastischen Hauptgleichung unter Verwendung der stochastischen Schrödinger-Gleichung (Wellenfunktion Monte Carlo)

Question

Numerische Simulation der stochastischen Hauptgleichung unter Verwendung der stochastischen Schrödinger-Gleichung (Wellenfunktion Monte Carlo)

Physik
Ableitung
Messungen
Quantenmechanik
Quanteninformation
offene Quantensysteme

Löwe

Betrachten wir ein zeitunabhängiges System, das mit einem Markov-Bad gekoppelt ist, muss die Bewegungsgleichung für die Dichtematrix des Systems die Form annehmen

\dot{ρ} = - ich [H, ρ] - \sum_{m} (c_{m}^{†} c_{m} ρ + ρ c_{m}^{†} c_{m} - 2 c_{m} ρ c_{m}^{†}) .

$\begin{equation} \dot{\rho} = - i \left[H,\rho\right] - \sum_m \left(c_m^{\dagger}c_m\rho+ \rho c_m^{\dagger}c_m - 2 c_m \rho c_m^{\dagger}\right). \end{equation}$

Ich werde dies eine Lindblad-Master-Gleichung (LME) nennen. Diese Gleichung beschreibt die vollständige deterministische Dynamik der Dichtematrix, einschließlich Dekohärenz und Dissipation.

Alternativ kann man die Trajektorie eines reinen Zustands mit Hilfe einer stochastischen Schrödinger-Gleichung (SSE) verfolgen. Der LME kann erhalten werden, indem der Gesamtmittelwert der SSE über Rauschrealisierungen genommen wird. Verschiedene Arten von Rauschen in einem SSE können demselben LME entsprechen. Zum Beispiel die SSE

d | ψ ⟩ = [- ich H d t - \sum_{m} (c_{m}^{†} c_{m} - ⟨ c_{m}^{†} c_{m} ⟩) d t + \sum_{m} ξ_{m} (\frac{c_{m}}{\sqrt{⟨ c_{m}^{†} c_{m} ⟩}} - 1)] | ψ ⟩

$\begin{equation} \textrm{d}\lvert \psi \rangle = \left[-i H \textrm{d}t - \sum_m \left(c_m^{\dagger}c_m - \langle c_m^{\dagger}c_m \rangle \right)\textrm{d}t +\sum_m \xi_m\left(\frac{c_m}{\sqrt{\langle c^{\dagger}_m c_m \rangle}}-1\right) \right]\lvert\psi\rangle \end{equation}$

beschreibt eine mögliche Auflösung der oben genannten LME. Hier das $\xi_m$ sind binäre Zufallsinkremente, die befriedigen $\xi_m\xi_n = \delta_{nm}\xi_m$ und $\langle\langle\xi_m \rangle\rangle = 2\langle c^{\dagger}_m c_m \rangle \textrm{d}t$ , wobei die doppelten Klammern den Ensemble-Mittelwert über Rauschrealisierungen anzeigen.

Die numerische Simulation eines Ensembles von SSEs kann gegenüber der Simulation einer LME vorteilhaft sein, da die Anzahl der Einträge der Dichtematrix skaliert $N^2$ wo $N$ ist die Dimension des Hilbert-Raums.

$\textbf{Question}$ : Wenn das System kontinuierlich überwacht UND gedämpft wird, wird die Entwicklung der Dichtematrix durch die (zufällige) Messaufzeichnung bedingt und entsprechend wird der Master-Gleichung ein stochastischer Term hinzugefügt (wodurch sie zu einer stochastischen Master-Gleichung, dh SME), die codiert die Rückwirkung der Messung auf das System. Kann eine äquivalente Formulierung in Bezug auf eine SSE gefunden werden? Gibt es Vorbehalte? Mir scheint, dass dies der Fall sein muss, da verallgemeinerte Messungen und Dekohärenz eng miteinander verbunden sind.

Wenn dies der Fall ist, gibt es in der SSE nun zwei Arten von stochastischen Termen, die die Dämpfung bzw. die Messung beschreiben. Kann die SME simuliert werden, indem die SSE nur in Bezug auf das "Dämpfungsrauschen" gemittelt wird?

Insbesondere in Kurt Jacobs Buch über Quantenmesstheorie in Kapitel 4.3.4 gibt es einen Abschnitt mit dem Titel „Monte-Carlo-Methode für stochastische Hauptgleichungen“, der einen Algorithmus beschreibt, der auch die Entwicklung der Schmidt-Koeffizienten der Dichtematrix beinhaltet. Warum muss dies bei kontinuierlicher Messung UND Dämpfung durchgeführt werden, während es bei beiden Betrachtungen nicht erforderlich ist?

Antworten (2)

Numerische Simulation der stochastischen Hauptgleichung unter Verwendung der stochastischen Schrödinger-Gleichung (Wellenfunktion Monte Carlo)

Markus Mitchison · Answer 1

Bevor wir uns den Fragen des OP zuwenden, lassen Sie uns zunächst schnell einige Konventionen und Notationen festlegen. Eine stochastische Hauptgleichung (SME), die Quantensprungbahnen beschreibt, kann in das Formular geschrieben werden

d ρ = d t L_{0} ρ - d t \sum_{m} H [\frac{1}{2} M_{m}^{†} M_{m}] ρ + \sum_{m} d μ_{m} G [M_{m}] ρ . (1)

$\mathrm{d}\rho = \mathrm{d}t \mathcal{L}_0\rho - {\rm d}t\sum_m \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}M^\dagger_m M_m]\rho + \sum_m {\rm d}\mu_m \mathcal{G}[M_m]\rho. \qquad (1)$ Hier,

ρ

$\rho$ ist der Quantenzustand, der durch eine gegebene Folge von Messergebnissen bedingt ist, und wir haben die nichtlinearen Superoperatoren definiert

H [L] ρ = L ρ + ρ L^{†} - T r [(L + L^{†}) ρ]

$\mathcal{H}[L]\rho = L\rho + \rho L^\dagger - {\rm Tr}[(L+L^\dagger)\rho]$ und

G [L] ρ = L ρ L^{†} / T r [L^{†} L ρ] - ρ

$\mathcal{G}[L]\rho = L\rho L^\dagger /{\rm Tr}[L^\dagger L\rho] - \rho$ , während

L_{0}

$\mathcal{L}_0$ ist ein beliebiger Lindblad-Generator des Formulars

L_{0} = H [- ich H] + \sum_{n} D [N_{n}],

$\mathcal{L}_0 = \mathcal{H}[-{\rm i}H] + \sum_n\mathcal{D}[N_n],$ mit

H

$H$ ein Hamiltonian (

ℏ = 1

$\hbar=1$ ) und

D [L] ρ = L ρ L^{†} - \frac{1}{2} {L^{†} L, ρ}

$\mathcal{D}[L] \rho = L\rho L^\dagger - \tfrac{1}{2}\{L^\dagger L,\rho\}$ ein Kühlkörper mit Lindblad-Operator

L

$L$ . Schließlich haben wir die stochastischen Poisson-Inkremente

d μ_{m} = d μ_{m}^{2},

${\rm d} \mu_m = {\rm d}\mu_m^2,$ das sind binäre Zufallsvariablen (entweder 0 oder 1) mit bedingtem Erwartungswert

E [d μ_{m} | ρ] = d t T r [M_{m}^{†} M_{m} ρ],

$\mathbb{E}[{\rm d}\mu_m|\rho] = {\rm d}t \,{\rm Tr}[M^\dagger_m M_m\rho],$ und die statistisch unabhängig sind, also befriedigend

d μ_{m} d μ_{n} = δ_{m n} d μ_{m}

${\rm d} \mu_m{\rm d} \mu_n = \delta_{mn}{\rm d} \mu_m$ .

Die besondere Abfolge von Sprüngen ${\rm d}\mu_m$ führt zu einem Messprotokoll $\mathbf{\mu}_m(t)$ für jeden Dissipationskanal, der überwacht wird (durch direkte Detektion, z. B. Photonenzählung). Zum Beispiel ein Experiment, bei dem die Fluoreszenz eines Zwei-Niveau-Atoms mit spontaner Emissionsrate erfolgt $\Gamma$ wird mit Detektionseffizienz überwacht $\eta$ wird durch eine stochastische Hauptgleichung mit einem überwachten Kanal beschrieben $M = \sqrt{\eta\Gamma}\sigma^-$ und ein nicht überwachter Kanal $N = \sqrt{(1-\eta)\Gamma}\sigma^-$ (Beschreibung der Dekohärenz aufgrund der unentdeckten Photonen). Die Messaufzeichnung ist die Folge von Photodetektorklicks, die bei einer gegebenen Durchführung des Experiments erhalten werden.

Durch Mittelung des SME (1) über den Messdatensatz gemäß der obigen Sprungstatistik erhält man eine Lindblad-Gleichung für den ensemblegemittelten Zustand $\bar{\rho} = \mathbb{E}[\rho]$ gegeben von

\frac{d \bar{ρ}}{d t} = L_{0} \bar{ρ} + \sum_{m} D [M_{m}] \bar{ρ} .

$\frac{{\rm d}\bar{\rho}}{{\rm d}t} = \mathcal{L}_0 \bar{\rho} + \sum_m\mathcal{D}[M_m]\bar{\rho}.$ Weitere mathematische Details finden Sie im Lehrbuch von Wiseman & Milburn .

Das OP fragt zunächst, ob es möglich ist, die Hauptgleichung (1) auf diese Weise in Trajektorien des reinen Zustands zu entwirren , und die Antwort ist tatsächlich bejahend. Wenn wir den Generator entwirren $\mathcal{L}_0$ , erhalten wir ein KMU

d ρ = d t H [- ich H] ρ - d t \sum_{m} H [\frac{1}{2} M_{m}^{†} M_{m}] ρ - d t \sum_{n} H [\frac{1}{2} N_{n}^{†} N_{n}] ρ + \sum_{m} d μ_{m} G [M_{m}] ρ + \sum_{n} d v_{n} G [N_{n}] ρ,

${\rm d}\rho = {\rm d}t\mathcal{H}[-{\rm i}H]\rho - {\rm d}t\sum_m \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}M^\dagger_m M_m]\rho - {\rm d}t\sum_n \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}N^\dagger_n N_n]\rho+ \sum_m {\rm d}\mu_m \mathcal{G}[M_m]\rho + \sum_n {\rm d}\nu_n \mathcal{G}[N_n]\rho,$ wobei die stochastischen Poisson-Inkremente

d ν_{n} = d ν_{n}^{2}

${\rm d}\nu_n = {\rm d}\nu_n^2$ der Statistik gehorchen

E [d v_{n} | ρ] = d t T r [N_{n}^{†} N_{n} ρ],

$\mathbb{E}[{\rm d}\nu_n|\rho] = {\rm d}t \,{\rm Tr}[N^\dagger_n N_n\rho],$ und sind statistisch unabhängig voneinander und von der

d μ_{m}

${\rm d}\mu_m$ .

Diese Entwicklung bewahrt die Reinheit und kann daher auch als stochastische Schrödinger-Gleichung (SSE) für (bedingt) reine Zustände geschrieben werden

d | ψ ⟩ = - ich H | ψ ⟩ d t - \frac{1}{2} \sum_{l} (L_{l}^{†} L_{l} - ⟨ ψ | L_{l}^{†} L_{l} | ψ ⟩) | ψ ⟩ d t + \sum_{l} d λ_{l} (\frac{L_{l}}{\sqrt{⟨ ψ | L_{l}^{†} L_{l} | ψ ⟩}} - 1) | ψ ⟩, (2)

${\rm d}|\psi\rangle = -{\rm i}H|\psi\rangle {\rm d}t - \tfrac{1}{2}\sum_l \left(L^\dagger_l L_l - \langle \psi\lvert L^\dagger_l L_l|\psi\rangle \right)|\psi\rangle {\rm d}t + \sum_l{\rm d}\lambda_l \left( \frac{L_l}{\sqrt{\langle\psi|L^\dagger_l L_l|\psi\rangle}} -1 \right)|\psi\rangle, \qquad (2)$ wo alle Sprungoperatoren

L_{l} = {M_{m}, N_{n}}

$L_l = \{M_m,N_n\}$ und stochastische Inkremente

d λ_{l} = {d μ_{m}, d ν_{n}}

${\rm d}\lambda_l = \{{\rm d}\mu_m,{\rm d}\nu_n\}$ wurden der Kürze halber zusammengefasst. Die SSE kann als Beschreibung eines effizienten kontinuierlichen Messverfahrens der für die Dissipationskanäle verantwortlichen Umgebung interpretiert werden

N_{n}

$N_n$ , zusätzlich zu der Umwelt verantwortlich für

M_{m}

$M_m$ . In unserem obigen Beispiel entspricht es einfach einer perfekt effizienten Fluoreszenzmessung an unserem Zwei-Niveau-Atom, bei der kein Photon unentdeckt bleibt.

Jetzt fragt das OP, ob man das erste SME wiederherstellen kann, indem man über den "Messdatensatz" mittelt. $\nu_n$ entspricht nur den Sprüngen $N_n$ in den Dissipationskanälen auftreten. Die Antwort ist ja, formal gesprochen, ohne Vorbehalte, da die stochastischen Inkremente ${\rm d}\nu_n$ sind unabhängig von der ${\rm d}\mu_m$ . In der Praxis wäre dies jedoch eine sehr anspruchsvolle Simulation. Der Grund dafür ist, dass der SME für jede mögliche Realisierung der Messaufzeichnung(en) eine andere Entwicklung beschreibt. $\mu_m$ . Um das KMU (1) für eine gegebene zu erholen $\mu_m$ , muss man Gl. (2) über viele Trajektorien, in denen genau die gleiche Abfolge von Sprüngen erfolgt ${\rm d}\mu_m$ geschah. Es ist jedoch äußerst unwahrscheinlich, zwei Trajektorien mit exakt (oder nahezu exakt) der gleichen Abfolge von Sprüngen zu erhalten. Daher erwarte ich, dass eine sehr (dh prohibitiv) große Anzahl von Trajektorien von Gl. (2) wird benötigt, um Gl. (1) für gegeben $\mu$ .

PhilippV · Answer 2

Ich werde versuchen, auf die Frage zu antworten

Wenn das System kontinuierlich überwacht UND gedämpft wird, wird die Entwicklung der Dichtematrix von der (zufälligen) Messung abhängig. Kann eine > äquivalente Formulierung in Bezug auf eine SSE gefunden werden? Gibt es Vorbehalte?

Zunächst einmal sprechen Sie nicht nur über die kontinuierliche Überwachung des Quantensystems (was die Umgebung in der Lindblad-Meistergleichung tut), sondern Sie sprechen über die Einführung eines Rückkopplungsmechanismus, der vom Ergebnis Ihrer Überwachung abhängig ist. Wenn Sie dies tun, erhalten Sie am Ende eine Hauptgleichung, die dieselbe Lindblad-Form hat (mit unterschiedlichen Verlust-Superoperatoren), und keine stochastische Hauptgleichung. Lassen Sie mich die Begründung im Folgenden skizzieren:

Von SSE zu Lindblad-Formular und zurück

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass eine Hauptgleichung der Form

\dot{ρ} = L ρ

$\dot{\rho} = \mathcal{L} \rho$ kodiert die durchschnittliche Entwicklung eines Systems. In einem allgemeinen Nicht-Gleichgewichts-Quantensystem können wir annehmen, dass die Vermischtheit der Dichtematrix das Ergebnis eines Mittelwerts mehrerer möglicher reiner Zustände ist

| ψ_{i} ⟩

$|\psi_i\rangle$ jeder mit seiner Wahrscheinlichkeit

p_{i}

$p_i$ . Die zeitliche Entwicklung dieser reinen Zustände kann dann in die stochastische Schrödinger-Gleichung aufgelöst werden, die die allgemeine Form hat

d | ψ_{ich} (t) ⟩ = f (| ψ_{ich} (t) ⟩, t) d t + g (| ψ_{ich} (t) ⟩, t) d W (t)

$d|\psi_i(t)\rangle = f(|\psi_i(t)\rangle, t)dt + g(|\psi_i(t)\rangle, t)dW(t)$ wobei dW(t) ein Wiener-Prozess ist, der normalerweise zu einem Delta-korrelierten Rauschen führt. Dies entspricht formal der zweiten Gleichung, die Sie geschrieben haben (von der ich glaube, dass sie ein paar Tippfehler enthält).

Wenn Sie die Reinzustandsdichtematrix definieren $\rho_i = |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ , dann können Sie die SSE in eine stochastische Gleichung für diese Reinzustandsdichtematrix umschreiben und erhalten

d ρ_{ich} (t) = L ρ_{ich} d t + g (ρ_{ich} (t), t) d W (t)

$d\rho_i(t) = \mathcal{L}\rho_i dt + g(\rho_i(t), t)dW(t)$

Aus dieser Gleichung können Sie das Lindblad-ME wiedergewinnen, indem Sie einfach über alle möglichen reinen Zustände summieren, as

wenn Sie alle möglichen reinen Zustände summieren, die Sie haben $\rho=\sum_i\rho_i$ ;
$\langle dW\rangle = \sum_i dW = 0$ weil es ein Wiener-Prozess ist.

Aktives Feedback

Wenn Sie also Feedback in Ihr System einführen möchten, tun Sie dies normalerweise, indem Sie sagen, dass Sie einen bestimmten Operator anwenden $\hat{B}$ zum Zeitpunkt $t$ abhängig von etwas, an dem Sie gemessen haben $t-\tau$ , wo $\tau$ stellt die Verzögerung der Rückwärtsaktion dar (und Sie möchten dann vielleicht sehen, was passiert, wenn $\tau\rightarrow0$ ).

Im Wesentlichen können Sie zeigen, dass Sie eine Gleichung der Form erhalten, wenn Sie den Feedback-Mechanismus zu Ihrem SSE hinzufügen:

d ρ_{ich} (t) = L ρ_{ich} d t + (g (ρ_{ich} (t), t) + b (ρ_{ich} (t), t)) d W (t) + h (ρ_{ich} (t), t) d W (t) d W (t - τ)

$d\rho_i(t) = \mathcal{L}\rho_i dt + (g(\rho_i(t), t)+b(\rho_i(t), t))dW(t) + h(\rho_i(t), t)dW(t)dW(t-\tau)$

wo $\mathcal{L}$ ist die Liouvillia und $g$ die stochastische Wirkung der Verluste auf das System ohne Rückkopplung, während b und h auf die Rückkopplung zurückzuführen sind. Der Beweis, um zu dieser Formel zu gelangen, ist ziemlich aufwendig, aber Sie sollten ihn auch in dem von Ihnen erwähnten Buch finden.

Dank den Regeln der Stochastik $dW(t)dW(t-\tau)\propto dt$ , sodass Sie eine neue stochastische Gleichung für reine Zustände erhalten

d ρ_{ich} (t) = (L ρ_{ich} + h (ρ_{ich} (t), t)) d t + g (ρ_{ich} (t), t) d W (t)

$d\rho_i(t) = (\mathcal{L}\rho_i + h(\rho_i(t), t))dt + g(\rho_i(t), t)dW(t)$

was wiederum, wenn Sie über alle reinen Zustände mitteln, eine Lindblad-Master-Gleichung mit einem modifizierten Lindbladian ergibt, was beweist, dass das Hinzufügen von Feedback zu einem System sehr ähnlich ist, wie es an eine bestimmte Umgebung zu koppeln.

Ein aktiver Forschungsbereich in Quantum System ist genau das: Wie können wir die Dissipation (die Umgebung) so gestalten, dass sie eine Rückkopplung (oder Vorwärtskopplung) auf das System bewirkt.

Die Frage erwähnt nirgendwo Feedback und bezieht sich eher auf Quantensprungbahnen (direkte Detektion) als auf Quantenzustandsdiffusion (homodyne Detektion). Siehe zum Beispiel die Definition von $\xi_m$ als binäre Zufallsinkremente, dh sie nehmen entweder den Wert 0 oder 1 an, sind also sicher kein Wiener-Prozess. Die Rückwirkung auf den Zustand ist eine Folge der Konditionierung auf ein gegebenes Messergebnis.

Numerische Simulation der stochastischen Hauptgleichung unter Verwendung der stochastischen Schrödinger-Gleichung (Wellenfunktion Monte Carlo)

Löwe

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PhilippV

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