Obergrenze eines Ausdrucks, der zur n-ten Potenz erhoben wird

Question

RandomMatrizen

Betrachten Sie den Ausdruck wo $x \gg n$ .

{(1 + \frac{1}{X})}^{N} .

$\begin{equation} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n}. \end{equation}$

Ich versuche, eine Obergrenze dieses Ausdrucks zu finden. Kann eine Obergrenze sein

1 + \frac{poly (N)}{X} ?

$\begin{equation} 1 + \frac{\text{poly}(n)}{x}? \end{equation}$

Ich habe die Intuition, dass die Terme höherer Ordnung alle unterdrückt werden sollten, aber ich suchte nach einem kurzen Beweis für diese Tatsache.

Benutzer · Answer 1

Wir haben das

{(1 + \frac{1}{X})}^{N} = e^{N Protokoll (1 + \frac{1}{X})} \leq e^{\frac{N}{X}}

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n}=e^{n\log\left(1 + \frac{1}{x}\right)}\le e^{\frac n x}$

dann könnten wir zum Beispiel das für verwenden $0<y< 1.25$

e^{j} \leq 1 + 2 j ⟹ {(1 + \frac{1}{X})}^{N} \leq 1 + \frac{2 N}{X}

$e^y\le1+2y \implies \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n} \le 1+\frac {2n} x$

Allgemeiner kann gezeigt werden, dass für alle $\varepsilon >0$ so dass $0<\frac x n <\varepsilon$ wir können finden $a>1$ so dass

{(1 + \frac{1}{X})}^{N} \leq 1 + \frac{A N}{X}

$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{n} \le 1+\frac {an} x$