Offensichtliche Verletzung der Energieeinsparung in einem elektromagnetischen Transformatorsystem

Zunächst möchte ich sagen, dass ich kein englischer Muttersprachler bin, daher könnten einige Grammatikfehler enthalten sein. Entschuldigung dafür im Voraus!

Ich habe einen ganzen Monat lang versucht zu verstehen, was in einem bestimmten elektromagnetischen System vor sich geht, ohne Erfolg. Vielleicht kann jemand von euch etwas Licht ins Dunkel bringen.

Stellen Sie sich folgendes System vor: Es gibt einen idealen 1:1 elektrischen Transformator. Beide Spulen haben die Induktivität L, und die Gegeninduktivität nimmt den Wert an$M=\sqrt{L_1 L_2}=\sqrt{L^2}=L$, da es keine Verluste gibt und der gesamte magnetische Fluss, der von jeder Spule erzeugt wird, durch die andere geht.

Jetzt verbinden wir auf beiden Seiten des Transformators einen Widerstand und einen Kondensator wie im Bild gezeigt:

Die Widerstände haben beide den Widerstand R, und der Kondensator hat beide die Kapazität C. Der einzige Unterschied zwischen beiden Seiten besteht darin, dass der Kondensator auf der linken Seite anfänglich mit der Ladung Q geladen wird, während der auf der rechten Seite keine anfängliche Ladung hat. Anfangs fließt auch kein Strom durch die Spulen.

Die zeitliche Entwicklung der in den Kondensatoren gespeicherten Ladung ist meines Wissens durch die folgenden zwei gekoppelten Differentialgleichungen gegeben, wobei:$x_1$ist die Ladung im linken Kondensator und$x_2$ist die Ladung auf der rechten Seite, beide als Funktionen der Zeit.

$$L\frac{d^2x_1(t)}{dt^2}+M\frac{d^2x_2(t)}{dt^2}+R\frac{dx_1(t)}{dt}+\frac{x_1}{C}=0$$

$$L\frac{d^2x_2(t)}{dt^2}+M\frac{d^2x_1(t)}{dt^2}+R\frac{dx_2(t)}{dt}+\frac{x_2}{C}=0$$ Mit Anfangsbedingungen: $$\frac{dx_1}{dt}(0)=0 \ \ \ \ \ x_1(0)=Q$$ $$\frac{dx_2}{dt}(0)=0 \ \ \ \ \ x_2(0)=0$$ Ich habe diese Gleichungen immer und immer wieder überprüft und ich denke ehrlich, dass sie richtig sind. Das Problem tritt jedoch auf, wenn ich sie löse. Ich habe dazu ein Simulink-Modell sowie einen Matlab-Code mit ode45 erstellt. Wenn ich das Skript ausführe, erhalte ich die Ladung in den Kondensatoren als Funktion der Zeit. Wenn ich die ersten Ableitungen nehme, erhalte ich die Intensität auf beiden Seiten des Transformators.

Wenn ich nun sowohl die Intensitäten als auch die gespeicherten Ladungen in einer ausreichend großen Zeit von Anfang an auswerte, gehen beide erwartungsgemäß gegen Null. Die ursprünglich im linken Kondensator gespeicherte Energie wird innerhalb weniger Zyklen in den Widerständen abgebaut. Das Problem ist, dass, wenn ich die dissipierte Energie berechne, indem ich das folgende Integral mache:

$$U_{diss}=\int_0^\infty R \left(\frac{dx_1(t)}{dt} \right)^2 dt + \int_0^\infty R \left(\frac{dx_2(t)}{dt} \right)^2 dt$$

Ich bekomme eine größere Zahl, als wenn ich die anfänglich im Kondensator gespeicherte Energie berechne. Dies würde bedeuten, dass der Stromkreis irgendwie mehr Energie durch den Jouleschen Effekt abgeführt hat als die anfänglich darin gespeicherte Energie.

Offensichtlich mache ich etwas falsch, aber ich habe keine Ahnung, was es sein könnte. Ich bin mir absolut sicher, dass ich die Differentialgleichungen richtig gelöst habe, da ich das verwendete numerische Verfahren mehrfach überprüft habe. Ich habe mehrere Modelle mit unterschiedlicher Software erstellt und erhalte immer das gleiche Ergebnis, und ein Freund von mir, der Experte für numerische Methoden für Differentialgleichungen ist, hat es auch überprüft. Das Problem muss also in den Differentialgleichungen selbst liegen, nicht in ihrer Lösung. Aber je mehr ich sie überprüfe, desto mehr bin ich davon überzeugt, dass sie richtig sind, also habe ich keine Ahnung, was ich tun soll.

Für mich ist klar, dass die dissipierte Energie für große Zeitwerte die anfänglich in den Kondensatoren gespeicherte Energie sein sollte, niemals größer.

Bitte helfen Sie mir dabei. Ich muss es wirklich richtig machen.

Danke im Voraus für eure Antworten,

Alberto.