"Ordnung" eines digitalen Filters (FIR und IIR)

Ich habe einige Zweifel an der Bedeutung der Reihenfolge für digitale Filter. Alles, was ich hier einfügen werde, stammt von diesen Folien .

1) Beginnen wir mit der Definition von FIR-Filtern:

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Aus dieser Definition sehen wir, dass Ordnung die Anzahl der verzögerten Eingangswerte in der Eingangs-Ausgangs-Gleichung des Filters bedeutet .

Meine Frage ist also: Gibt es einen Zusammenhang mit dem Konzept der "Ordnung" in der Kontrolltheorie? Beispielsweise hat in der Steuerungstheorie ein System zweiter Ordnung (oder Filter) eine Übertragungsfunktion mit einem Polynom zweiten Grades am Nenner, und dies geschieht auch in analogen Filtern (wo es manchmal gleich der Anzahl der reaktiven Komponenten der Schaltung ist ). Gilt es auch hier?

2) Betrachten wir die sogenannte Windows-Designmethode:

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Grundsätzlich wird versucht, (in ungefährer Weise) einen Filter zu realisieren, indem ein Fenster der gewünschten Impulsantwort des Filters ausgewählt wird, und Sie können aus dem Ausdruck von w(n) ersehen, dass die Länge des Fensters gleich der Größenordnung von ist den Filter (M-1).

Meine Frage ist also: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Reihenfolge des Filters (wie in 1 beschrieben) und der Anzahl der Samples des Fensters?

FIR : Keine direkte Verbindung ... IMO ist der Begriff "Ordnung" für FIR in dieser Hinsicht irreführend. Für IIR-Filter: ja, gibt es; und Sie können einen kontinuierlichen Zeitfilter ungefähr in ein TTR-Äquivalent übersetzen (z. B. bilinäre Transformation).

Antworten (2)

Im Allgemeinen bezieht sich die Reihenfolge auf den zugrunde liegenden Grad des Polynoms. Genau wie bei einem Polynom gibt es die Potenzen von X und die Koeffizienten. Wenn die Ordnung 2 ist, dann hat das Polynom 3 Potenzen von X und 3 Koeffizienten, aber da X 0 = 1 , wir sagen, es hat 2 Potenzen und 3 Koeffizienten.

Bei Filtern ohne Rückkopplung (FIR) sind die Leistungen von X N sind die Verzögerungen, z − N , und die Übertragungsfunktion hat nur Nullen (der Nenner ist 1, alle Pole sind bei 0), also bilden die Koeffizienten des Zählers das Polynom:

H N z − N + H N − 1 z − ( N − 1 ) + . . . + H 1 z − 1 + H 0

Die Samples benötigen keinen Speicher (z. B. Sample&Hold nullter Ordnung). Wenn Sie jedoch mit Samples aus dem Speicher arbeiten müssen, benötigen Sie ein Sample für den aktuellen Wert und N Beispiele für die im Gedächtnis. Das bedeutet, dass die Anzahl der Samples durch die Länge des Filters gegeben ist, N + 1 .

Als Nebenbemerkung sehen Sie viele Notationen für Länge und Reihenfolge, z. B. die Länge, L = N + 1 , wobei die Ordnung plus eins ist, und M = N 2 der Mittelpunkt oder die Hälfte der Ordnung ist.

Für Filter mit Rückkopplung (IIR) sollte die Übertragungsfunktion korrekt sein, sodass der Grad die Ordnung des Nenners darstellt:

∏ k = 0 N z − z k z − P k

was sich ausdehnt zu (siehe dies für die Formel):

∑ k = 0 N ( − 1 ) N − k ( ∑ 0 ≤ ich 1 < ich 2 < ⋯ < ich N − k ≤ N − 1 ∏ J = 1 N − k P ich J ) z − k

Ja, da die Kontrolltheorie Filter verwendet, gehorcht sie im Allgemeinen ihren Definitionen.

Wenn ich beispielsweise eine Übertragungsfunktion 4. Ordnung habe, die einen Butterworth-Filter darstellt, hat der entsprechende FIR-Filter dann nur eine Impulsantwort von 4 Abtastwerten? ich bin ein bisschen verwirrt
@Kinka-Byo Es gibt keine direkte Entsprechung zwischen einem Butterworth-Filter und einem FIR: Einer hat Feedback, der andere nicht. Worüber Sie wahrscheinlich sprechen, ist eine Annäherung an eine Butterworth-Antwort, die mit Frequenzabtastung oder anderen derartigen Methoden erzielt wird, aber dann vergleichen Sie Äpfel und Birnen. In der Antwort sagte ich auch, dass die Anzahl der Samples durch die Länge des Filters gegeben ist . Ob Sie also ein IIR oder FIR 4. Ordnung wünschen, die Reihenfolge von jedem wird durch die Anzahl der Verzögerungen gegeben. Bei analogen Filtern ist die Reihenfolge durch die Anzahl der reaktiven Elemente gegeben.
(Fortsetzung) Für IIRs ist die Anzahl der Verzögerungen die am Nenner, weil es auch am Zähler geben kann, obwohl dies von der Realisierungstopologie abhängt. Für FIRs ist es einfach.

1) FIR-Filterordnung N bedeutet nur, dass es eine Länge von M = N + 1 Koeffizienten hat. Seine Frequenzantwort (Übertragungsfunktion) kann wirklich alles sein, was mit dem Koeffizientenwert und der Anzahl der Koeffizienten realisiert werden kann. Es hat nichts mit einem analogen Filter der Ordnung X zu tun, wo es die Flanke nach dem Cutoff bedeutet.

2) Ordnung N bedeutet Länge M=N+1 Koeffizienten. Sie haben im Grunde einen unendlich langen idealen Filter, und wenn Sie nur das rechteckige Fenster der Länge M verwenden, um den unendlichen Filter so abzuschneiden, dass er nur M Koeffizienten hat, erhalten Sie am Ende einen Filter der Ordnung N = M-1.

"Ordnung" eines digitalen Filters (FIR und IIR)
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