Parametrische Konvergenz unendlicher Reihen

Ich habe einige Übungen zu Cauchys Wurzeltest und D'Alemberts Verhältnistest für unendliche Reihen durchgearbeitet. Lassen Sie mich nur sagen, dass ich mir bewusst bin, dass sie aufgrund des Stolz-Cesàro-Theorems äquivalent sind. Ich hatte einige parametrische Reihen zur Hand, und da man bei der Analyse von Entitäten mit Parametern nie zu sehr ins Detail gehen kann (zumindest habe ich es jedes Mal bereut, wenn ich es nicht getan habe), habe ich zunächst damit begonnen, zunächst grundlegende Konvergenz anzuwenden Test, das heißt Serie$\sum{a_n}$weicht ab, wenn$\lim_{n\to+\infty}a_n \ne 0$. Dann würde ich je nach Serie entsprechende Test-, Wurzel- oder Ratio-Tests anwenden. Mir fiel auf, dass die Reihe für jeden einzelnen Fall für das gesamte Intervall konvergierte, in dem sie tatsächlich konvergieren konnte. Das heißt, wenn der Konvergenztest besagt, dass die Reihe immer dann divergiert, wenn beispielsweise ein Parameter vorliegt$p$, liegt im Intervall$I$, dann war die Reihe genau im ganzen Intervall konvergent$I$wenn einer der beiden anderen Tests angewendet wurde.

Ich frage mich, warum das passiert. War ich mit meiner Analyse nicht standhaft? In allen Beispielen ist der Parameter$p$als positive reelle Zahl angegeben wurde, so ist es möglich, dass für die negativen Zahlen von$p$diese Serien divergieren immer noch irgendwo innerhalb$I$? Ich werde einige der interessanteren Übungsaufgaben und die Lösungen, die ich dafür habe, nennen. Ich hoffe, dass mir jemand sagen kann, ob das, was ich bemerkt habe, eine Tatsache ist, oder ob es nur darauf ankommt$p$war immer positiv. Kann ich das zumindest immer positiv erwarten$p$Sowohl der Konvergenz- als auch der Wurzel-/Verhältnistest ergeben die gleichen Ergebnisse? Wenn nein, was sind einige Gegenbeispiele?

Beispiel 1:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{p\cdot n}{n+1})^n,\ p \in (0,+\infty)$$ Reihe konvergiert für$p \in (-1,1)$. Für diesen Fall habe ich tatsächlich genommen$p \in \mathbb{R}$, weil es nicht so schwer war, alle Fälle durchzugehen wie bei den anderen. Hier habe ich den Root-Test verwendet. Auch$\lim_{n\to+\infty}a_n = \frac{1}{e}\lim_{n\to+\infty}p^n$Und$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=p$.

Beispiel 2:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{(p+\frac{1}n)^n}, p\in(0,+\infty)$$ Reihe konvergiert für$p \in (1,+\infty)$. Auch$\lim_{n\to+\infty}a_n = \frac{1}{\sqrt[p]{e}}\lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{p})^n$Und$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}p$.

Beispiel 3:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{p^n+1}, p \in (0,+\infty)$$ Reihe konvergiert für$p\in(1,+\infty)$. Hier konnte ich die fraglichen Grenzen nicht wirklich systematisch vereinfachen, also ging ich nach Intuition, allerdings mit den gleichen Schlussfolgerungen wie zuvor: $$\lim_{n\to+\infty}a_n = \left \{ \begin{aligned} &0, && p > 1 \\ &\frac{1}2, && p = 1\\ &1, && p < 1 \end{aligned} \right. ,$$ was ergibt, dass die Reihe für divergiert$p \le 1$, Und $$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n} = \left \{ \begin{aligned} &\frac{1}p, && p > 1 \\ &1, && p \le 1\\ \end{aligned} \right. ,$$ was ergibt, dass die Reihe nur für konvergiert$p>1$.

Beispiel 4:

Das letzte, versprochen

$$\sum_{n=1}^{+\infty}(n+p)\left (\frac{p+1}{p^2+1} \right )^n, p \in (-1,+\infty)$$ Hier sind Grenzen: $$\lim_{n\to+\infty}a_n = \left \{ \begin{aligned} &0, && \frac{p^2+1}{p+1} > 1 &+\infty, \frac{p^2+1}{p+1} \le 1 \end{aligned} \right. ,$$ also divergiert die Reihe für$p \in ((-\infty,-1)\cup[0,1]) \cap (-1,+\infty) = [0,1]$, Und $$L = \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n} = \frac{p+1}{p^2+1}.$$ Da Reihen für konvergieren$L < 1$, wir bekommen$p\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$. Da ist das gegeben$p>-1$, schließlich konvergiert Reihe für$p \in(-1,0)\cup(1,+\infty)$.