PI in Minesweeper gefunden - eine neue Vermutung

Beim Spielen mit Monte-Carlo-Simulationen über Minesweeper fand ich zufällig, dass PI in einem Zahlenmuster auftauchte, das sich auf benachbarte Minenzellen auf n*n- Rastern mit n Minen bezieht.

Meine Beobachtungen deuten auf folgende Vermutung hin:

  • Wir definieren S N als durchschnittliche Summe aller Zahlen auf einem quadratischen Minesweeper-Brett mit Dimensionen N × N , und eine Anzahl von Minen gleich N .
  • Wir definieren S N − 1 als durchschnittliche Summe aller Zahlen auf einem quadratischen Minesweeper-Brett mit Dimensionen ( N − 1 ) × ( N − 1 ) , und eine Anzahl von Minen gleich N − 1 .
  • Subtrahieren S N − 1 aus S N ergibt ungefähr 7,85398 ≈ 2.5 π .

Die vollständige Vermutung finden Sie hier als PDF: Github-Link

Da ich als reiner Informatiker nicht genug Einblick in das Thema habe, habe ich das mit einem Mathematikprofessor an meiner Uni besprochen. Er denkt, dass die Randeffekte nicht so wichtig sind, und schlägt vor, sich die Überlappungen genauer anzusehen, und schlägt ferner vor, das Minesweeper-Gitter als Torus zu betrachten.

Was denken Sie über dieses seltsame Vorkommen von PI? Findest du Fehler in meiner Vermutung?

Bitte geben Sie die wesentlichen Informationen in die Frage selbst ein und nicht in eine externe Ressource.
@MartinR Danke, ich werde meine Frage sofort bearbeiten.
Hatte gelesen - was ist die Summe S in Ihrem Dokument? Die Gesamtzahl der Minen um eine Zelle herum?
R = 100 Wiederholungen sind nichts. Komm zurück, wenn du fertig bist 10 , 000 . (Und ja, verwenden Sie einen Torus.)
@ Chinny84 Das hätte deutlicher gemacht werden sollen. Das S unter dem Algebraabschnitt ist dasselbe wie avg im Pseudocode. Es ist die durchschnittliche Summe der Zahlen auf Nichtminenfeldern auf einem Brett mit Größe n*n und n Minen.
@TonyK Danke für deinen Beitrag. Ich fand, dass es ziemlich schnell konvergiert, und bedenke, dass es 100 Iterationen für jedes Board der Größe n gibt , und somit gibt es insgesamt 200 * 100.
Ich bin mir nicht ganz sicher (Grenzen + Minen können benachbart sein), aber ich denke das π ist zufällig… hier kann es das sein 8 darauf kommt es an, da jede Mine genau addiert 8 weist auf die Summe hin. Das Folgende ist eher eine heuristische Erklärung als ein rigoroser Beweis. Es gibt im Durchschnitt Θ ( 1 ) Minen an der Grenze, und Ö ( 1 ) Paare benachbarter Minen, so N S N = 8 N + Ö ( 1 ) … also wenn S N − S N − 1 hat eine Grenze, sollte es sein 8 …
Ihr PDF ist sehr schwer zu verstehen - anscheinend vergessen Sie häufig erforderliche Klammern (z. B. im Ausdruck ( S 1 − S 0 ) + ⋯ + ( S N − S N − 1 ) / N ); du hast dich nicht vorgestellt N an erster Stelle (angeblich, N = N ?); wenn du nimmst lim N → ∞ , davon kann das Ergebnis nicht wieder abhängen N
@HagenvonEitzen Es ist der Informatiker in mir, der mit der Notation schlampig umgeht, und die plötzliche Inspiration veranlasst mich, innerhalb weniger Minuten ein PDF herunterzukramen. Wird sich verbessern :)
@Mindlack Ich stimme zu, es sollte. Ich berechne die Wahrscheinlichkeiten benachbarter Minen und verringere damit jetzt die Summe der Zahlen. Mal sehen ob mir was einfällt.

Antworten (1)

Um die Berechnung der Rückseite des Umschlags in @Mindlacks Kommentar genau zu machen:

Mit N Minen auf einem N × N Brett, die erwartete Anzahl von Minen auf einem beliebigen Feld ist genau N N 2 = 1 N . Aber wenn wir wissen, dass ein bestimmtes Feld eine Mine ist, dann gilt für jedes andere Feld die erwartete Anzahl von Minen auf diesem Feld N − 1 N 2 − 1 = 1 N + 1 . Wenn also ein Feld mit k Nachbarn ist eine Mine, dann ist der erwartete Beitrag zur Summe von dieser Mine k ⋅ ( 1 − 1 N + 1 ) und daher der erwartete Beitrag dieses Feldes (ohne bereits zu wissen, dass es sich um eine Mine handelt).

1 N ⋅ k ⋅ ( 1 − 1 N + 1 ) = k N + 1 .
Jetzt auf unserem (nicht toroidalen) N × N Brett, wir haben 4 Eckfelder mit 3 Nachbarn, 4 N − 8 Randfelder mit 5 Nachbarn und ( N − 2 ) 2 Innenfelder mit 8 Nachbarn. Wir schließen daraus
S N = 4 ⋅ 3 N + 1 + ( 4 N − 8 ) ⋅ 5 N + 1 + ( N − 2 ) 2 8 N + 1 = 8 N 2 − 12 N + 4 N + 1 = 8 N − 20 + 24 N + 1
Exakt.

Es folgt dem

S N − S N − 1 = 8 − 24 N 2 + N
Und
1 N S N = 8 − 20 N + 24 N 2 + N .
Es ist kein Zufall, dass die Grenze dieser Ausdrücke als N → ∞ ist genau 8 .

Das hat sich erledigt, vielen Dank!
PI in Minesweeper gefunden - eine neue Vermutung
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