"(pq) v (pr) von "p.(qvr)" ableiten?

Zuerst müssen wir die Prämisse p ∧ (q ∨ r) mithilfe der Konjunktionselimination entpacken , um die beiden Konjunktionen zu erhalten: p und (q ∨ r) .

Dann müssen wir den Fallbeweis (d. h. Disjunktionsbeseitigung ) verwenden, um p ∧ q durch Konjunktionseinführung abzuleiten , gefolgt von (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) durch Disjunktionseinführung im ersten Fall und p ∧ r durch Konjunktion Einführung gefolgt von (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) durch Disjunktion Einführung , im zweiten Fall.

Nachdem wir (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) aus den beiden Disjunkten von (q ∨ r) hergeleitet haben, können wir folgern, dass aus der Prämisse folgt, nämlich dass:

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ist eine logische Konsequenz aus p ∧ (q ∨ r) .

Hier ist ein Beweis, der in Fitch durchgeführt wurde:

Der natürliche Abzugsprüfer und -editor im Fitch-Stil , den ich für diese Antwort verwende, ist mit dem Buch forall x: Calgary Remix verbunden .

Hier ist die Frage:

erster Versuch:

1 ......1. p.(q V r)

1 ......2. q V r ... ..................... (1) CE

1 ......3. p ...............................(1) CE

1 ......4. ?

Ich brauche zwei "p" für den Schluss, wie kann ich ein weiteres "p" einführen und es im Schluss behalten?

Die folgende Lösung ähnelt der von Bram28 in den Zeilen 2-11 bereitgestellten:

Um über Zeile 3 hinauszukommen, müssen wir die Disjunktion, das Symbol ∨, eliminieren. Dies ist eine „oder“-Anweisung. Entweder ist Q wahr oder R ist wahr. Um also das „oder“ zu eliminieren, müssen wir zwei Fälle betrachten. Ich habe dünne blaue Kästchen um die beiden Fälle gezeichnet, einen für Q und einen für R.

In Bezug auf die Frage, ob zwei „p“ für die Schlussfolgerung benötigt werden, wird das zusätzliche „p“ in Zeile 6 für den Q-Fall und in Zeile 9 für den R-Fall hinzugefügt.

Beachten Sie, wie dies im Q-Fall gemacht wurde.

In Zeile 4 habe ich einen Unterbeweis begonnen, indem ich Q angenommen habe. Ich brauche keine Begründung für diese Annahme.

In Zeile 5 habe ich die Tatsache verwendet, dass ich in Zeile 2 bereits P und in Zeile 4 Q als Annahme habe. Da ich beide habe, kann ich eine Konjunktion einführen, also eine „und“-Aussage. Jetzt habe ich P ∧ Q, einen Teil der Schlussfolgerung, die ich haben möchte.

Danach kann ich eine Disjunktion, also eine „oder“-Aussage zu P ∧ Q einführen. Was füge ich hinzu? Ich kann alles hinzufügen, was ich will. Ich weiß bereits, dass diese Aussage wahr ist, weil einer der Fälle, P ∧ Q, wahr ist. Also führe ich das ∨ mit genau dem ein, was ich brauche, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten: P ∧ R.

Ich habe mich um die beiden Fälle gekümmert, indem ich für jeden einen Unterbeweis konstruiert habe, und bin in jedem Fall zum gewünschten Schluss gekommen. Der Beweis wird vollständig sein, sobald ich das behaupte. In Zeile 10 führe ich die Schlussfolgerung aus beiden Teilbeweisen an. Die Begründung dafür ist eine Eliminierung der Disjunktion, mit der ich in Zeile 3 begonnen habe, indem ich Unterbeweise in den Zeilen 4-6 und 7-9 verwende.

Der Proof-Checker bestätigt die Lösung.

Wir können auch in die andere Richtung gehen. Bram28 tut dies in den Zeilen 12-23 dieses Beweises. Die letzte Zeile dieses Beweises führt eine biconditional ein, indem sie als Begründung für die Einführung auf die beiden Unterbeweise in den Zeilen 2-11 und 12-23 verweist.