Primitive pythagoreische Dreifachvermutung mit pi (ππ\pi)

Wolfram MathWorld sagt in seinem Artikel über pythagoreische Tripel :

Lehmer (1900) bewies, dass die Anzahl primitiver Lösungen mit Hypotenuse kleiner als N erfüllt

$$\lim_{n \to \infty} {\Delta_p(N) \over N} = {1 \over 2\pi} = 0.1591549\cdots$$

und das Nehmen des Kehrwerts gibt Ihr Ergebnis. Dieses Papier kann auf Google Books gefunden werden , und Ihre Vermutung wird in der Diskussion auf den Seiten 327-328 wiedergegeben. Der Beweis scheint jedoch auf viel theoretischem Apparat zu beruhen; Ich kenne keinen "einfachen" Beweis.

Ein lockeres heuristisches Argument verwendet die Art des Ergebnisses:

Wenn Sie zwei zufällige ganze Zahlen auswählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie relativ prim sind$\frac{6}{\pi^2}$

Dies ist ein "ähnliches" Ergebnis, weil wir eigentlich über Dichte sprechen, nicht über Wahrscheinlichkeit.

Jedes primitive Tripel kann geschrieben werden$u^2-v^2,2uv,u^2+v^2$mit$\gcd(u,v)=1$,$u-v$ist ungerade.

So$f(n)$kann als Anzahl der Paare angesehen werden$v<u$mit$u^2+v^2\leq n$Und$\gcd(u,v)$Und$u-v$ist ungerade.

Aber dann$g(n)$, die Anzahl der Paare$u^2+v^2\leq n$ist ungefähr$\frac{\pi n}{4}$, da es die Anzahl der Gitterpunkte in einem Quadranten eines Radiuskreises ist$\sqrt{n}$. Davon ca$\frac{6}{\pi^2} g(n)$haben$\gcd(u,v)=1$, und davon etwa$\frac{2}{3}$haben$u-v$ungerade (weil wir die Fälle bereits ausgeschlossen haben, in denen$u,v$sind beide gerade.) Und die Hälfte davon hat$v<u$.

Insgesamt erhalten Sie also:

$$f(n)\approx \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{6}{\pi^2}\frac{\pi n}{4}=\frac{1}{2\pi} n$$

Dies alles rigoros zu machen, würde eine Anstrengung erfordern, um Grenzen in den verschiedenen Schätzungen zu finden, aber dies ist der Grund dafür$\frac{n}{f(n)}$konvergiert zu$2\pi$- Diese Schätzungen erweisen sich als "gut genug".