Primitiver pythagoreischer Dreifachgenerator

Ich habe mich gefragt, wie man die folgende Tatsache über primitive pythagoreische Tripel beweisen kann:

Lassen ( z , u , w ) ein primitives pythagoreisches Tripel sein. Dann gibt es teilerfremde positive ganze Zahlen A , B unterschiedlicher Parität, so dass

z = A 2 − B 2 , u = 2 A B , Und w = A 2 + B 2 .

Ich sehe wie z , u , w müssen die Seiten eines Dreiecks bilden, wobei C ist die Hypotenuse, aber wie zeigen wir das gcd ( z , u , w ) = 1 und dass diese alle Tripel erzeugen?

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Es ist leicht zu sehen, dass wenn ( z , u , w ) ist also ein primitives pythagoräisches Tripel w ist seltsam und entweder z ist seltsam und u ist gerade oder z ist sogar und u ist ungerade. WLOG nehme das an u = 2 X ist eben, also z ist ungerade. Dann

u 2 = 4 X 2 = w 2 − z 2 = ( w + z ) ( w − z ) .

Das ist klar gcd ( w + z , w − z ) = 2 , So j 1 := ( w + z ) / 2 Und j 2 := ( w − z ) / 2 sind teilerfremde positive ganze Zahlen. Daher

X 2 = j 1 j 2 ,

und deshalb j 1 Und j 2 relativ Primteiler von sind X 2 . Dies impliziert das j 1 Und j 2 sind perfekte Quadrate, also schreibe j 1 = A 2 Und j 2 = B 2 . Somit,

u = 2 X = 2 A B , z = j 1 − j 2 = A 2 − B 2 , Und w = j 1 + j 2 = A 2 + B 2 .

Dies beweist, dass jedes primitive Tripel die Form hat ( A 2 − B 2 , 2 A B , A 2 + B 2 ) , wie gewünscht.

Natürlich der Zustand gcd ( A , B ) = 1 wird sonst benötigt ( A 2 − B 2 , 2 A B , A 2 + B 2 ) wird nicht primitiv sein.

Warum muss w seltsam sein?
Angenommen, die w ist gerade. Dann z Und u gleiche Parität haben. Wenn beide gerade sind, dann ist das Tripel nicht primitiv. Wenn beide ungerade sind, dann w 2 ist ein Vielfaches von 4 , Aber z 2 + u 2 ist kein Vielfaches von 4 (es ist ≡ 2 Mod 4 seit X 2 ≡ 1 ( Mod 4 ) für jede ungerade X ), was ein Widerspruch ist. Deshalb, w muss seltsam sein.
Selbst wenn A ungerade, B gerade, C ungerade in einem Tripel sind, ist es möglicherweise nicht primitiv wie in ( 27 , 36 , 45 ) , ( 75 , 100 , 125 ) , ( 147 , 196 , 245 ) , ( 243 , 324 , 405 ) mit G C D S von 3 2 , 5 2 , 7 2 , 9 2 , bzw.

Selbst in dem von @JeanMarie zitierten Wikipedia- Artikel konnte ich das folgende schnelle Argument nicht finden, das alle pyhagoreischen Tripel auf einen Schlag angibt: Da die pythagoreische Gleichung homogen ist, entspricht sie der Gleichung in rationalen Variablen Z 2 + U 2 = 1 , oder gleichwertig N ( Z + ich U ) = 1 , Wo N bezeichnet die Normkarte ab Q ( ich ) Zu Q , ich 2 = − 1 . Die Erweiterung Q ( ich ) / Q zyklisch ist, wobei die Galois-Gruppe durch die komplexe Konjugation erzeugt wird, gilt Hilberts Theorem 90, was dies zeigt N ( Z + ich U ) = 1 iff Z + ich U ist von der Form A + ich B / A − ich B . Aus der Identifikation folgt das Z = A 2 − B 2 / A 2 + B 2 Und U = 2 A B / A 2 + B 2 . Das Löschen von Nennern erzeugt sofort die üblichen pythagoreischen ganzzahligen Tripel z = A 2 − B 2 , u = 2 A B , w = A 2 + B 2 . Das Löschen gemeinsamer Teiler ergibt einfach die primitiven Tripel.

Ich dachte, ich hätte einen Beweis, dass, wenn M , N sind gegenseitig prim, M , N würde nur primitive pythagoreische Tripel erzeugen. Der P R Ö Ö F steht zwischen dem Sternchen unten.

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Wir sind gegeben  A = M 2 N 2 B = 2 M N C = M 2 + N 2

Lassen X sei die GCD von M , N und lass P Und Q seien die Cofaktoren von M Und N bzw. Dann haben wir

A = ( X P ) 2 − ( X Q ) 2 B = 2 X P X Q C = ( X P ) 2 + ( X Q ) 2
A = X 2 ( P 2 − Q 2 ) B = 2 X 2 ( P Q ) C = X 2 ( P 2 + Q 2 )

Wenn G C D ( M , N ) = 1 , Dann G C D ( A , B , C ) = 1 Und ( A , B , C ) ist ein primitives Tripel. Das bedeutet, dass M Und N muss teilerfremd sein, um ein Primitiv zu erzeugen.

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Ein Gegenbeispiel macht jedoch den sogenannten Beweis zunichte: Lassen  M , N = 7 , 3 .

A = 49 − 9 = 40 B = 2 ∗ 7 ∗ 3 = 42 C = 49 + 9 = 58 G C D ( 40 , 42 , 58 ) = 2
∴ G C D ( M , N ) = 1 ¬ ⟹ G C D ( A , B , C ) = 1
Die einzigen zwei Formeln, die ich kenne, die nur primitive Tripletts erzeugen, erzeugen aber nicht alle C − B = 1 im ersten und C − A = 2 im zweiten.

A = 2 N 2 + 1 B = 2 N 2 + 2 N C = 2 N 2 + 2 N + 1
A = 4 N 2 − 1 B = 4 N C = 4 N 2 + 1

Wo finde ich weitere Informationen über die Ellingson-Sequenzierung? Wikipedia liefert keine.
Können wir uns auf diesem Kanal unterhalten (ich möchte die Integrität eines unveröffentlichten Artikels nicht gefährden)? Weil ich eine ähnliche Gleichung kenne, die erstmals 628 n. Chr. (Vor etwa 1500 Jahren) gegeben wurde. Ich denke also, es ist nicht sehr neu (ich kann mich irren, also entschuldige ich mich in diesem Fall)
Sie haben sich also einige Gleichungen ausgedacht, sie nicht veröffentlicht und sich dennoch entschieden, sie einfach Ellingson-Gleichungen zu nennen, wahrscheinlich unter Ihrem eigenen Namen? Das ist keine gute wissenschaftliche Praxis.
Ich verstehe nicht, warum es einen Streit gibt. Sie geben verschiedene Formeln an, die die bekannte Formel von Pythagoras sind.
X 2 + j 2 = z 2
X = 2 P S
j = P 2 − S 2
z = P 2 + S 2
Ihr ganzes Spiel... das ist eine Ersetzung von Zahlen einer anderen Form. So was.
P = 2 N − 1 + k
S = k
Es ist die Zeit nicht wert. Eine andere Formel, die alle Lösungen beschreibt - kann nicht erhalten werden ...
Euklids Formel erzeugt triviale Tripel zB F ( 1 , 1 ) = ( 0 , 2 , 2 ) , 2 N D Quadrantentripel zB F ( 2 , 3 ) = − 5 , 12 , 13 ) , und nicht ungerade Vielfache von Tripeln zB F ( 3 , 1 ) = ( 8 , 6 , 10 ) . Die alternativen Gleichungen erzeugen nur nicht trivial 1 S T Quadrant verdreifacht wo G C D ( A , B , C ) = ( 2 M − 1 ) . M ∈ N für alle natürlichen Zahlenpaare. Die Alternative generiert alle Primitive und das ist alles, was wirklich benötigt wird.
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